Номер 468, страница 130 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Глава 5. Объёмы тел - номер 468, страница 130.

Условие.

468. Фигура, заштрихованная на рисунке 148, вращается вокруг оси Оу. Найдите объём полученного тела.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Задача предполагает нахождение объёма тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из координатных осей. Так как на изображении не указан конкретный подпункт, а лишь общая формулировка задачи, приведём решение для всех подпунктов, соответствующих рисунку 148 из учебника.

а) Фигура ограничена линиями $y = x^2, y = 1, x = 0$; вращение вокруг оси $Oy$.

Для вычисления объёма тела, полученного вращением фигуры вокруг оси $Oy$, применяется формула $V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$.
Сначала выразим $x$ как функцию от $y$ из уравнения параболы $y = x^2$. Поскольку фигура находится в первой четверти ($x \ge 0$), получаем $x = \sqrt{y}$.
Пределы интегрирования по оси $y$ заданы условиями: от $y=0$ до $y=1$.
Теперь подставим всё в формулу и вычислим интеграл: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y \, dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^3, y = 1, x = 0$; вращение вокруг оси $Oy$.

Используем ту же формулу для вращения вокруг оси $Oy$: $V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$.
Из уравнения $y = x^3$ выражаем $x$: $x = \sqrt[3]{y}$.
Пределы интегрирования по $y$ — от 0 до 1.
Подставляем в формулу и вычисляем: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y^{2/3} dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2/3+1}}{2/3+1} \right]_{0}^{1} = \pi \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{3}{5} \cdot 1^{5/3} - \frac{3}{5} \cdot 0^{5/3} \right) = \frac{3\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{5}$.

в) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}, y = 0, x = 1$; вращение вокруг оси $Ox$.

Для вычисления объёма тела, полученного вращением фигуры вокруг оси $Ox$, применяется формула $V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx$.
Функция $y(x) = \sqrt{x}$ задана в явном виде. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются условиями: от $x=0$ (точка пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=0$) до $x=1$.
Подставляем в формулу и вычисляем: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x \, dx$
$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = x^2, y = x^3$; вращение вокруг оси $Ox$.

Сначала найдём точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования: $x^2 = x^3 \implies x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x-1) = 0$. Точки пересечения при $x=0$ и $x=1$.
На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x^2$ расположен выше графика $y = x^3$ (например, при $x=0.5$, имеем $0.5^2=0.25$ и $0.5^3=0.125$, и $0.25 > 0.125$).
Объём тела вращения находится методом шайб (колец) как разность объёмов тел вращения, образованных верхней ($y_{верх} = x^2$) и нижней ($y_{низ} = x^3$) кривыми.
Формула объёма: $V = \pi \int_{a}^{b} (y_{верх}^2(x) - y_{низ}^2(x)) dx$.
$V = \pi \int_{0}^{1} ((x^2)^2 - (x^3)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 - x^6) dx$
$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \pi \left( (\frac{1^5}{5} - \frac{1^7}{7}) - (\frac{0^5}{5} - \frac{0^7}{7}) \right)$
$V = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7-5}{35} \right) = \frac{2\pi}{35}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{35}$.