Номер 479, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

479. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если:

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ;

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α;

в) плоский угол при вершине равен β.

Объем правильной треугольной пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Высота пирамиды $H$ проектируется в центр основания $O$. Расстояние от центра основания до его вершины (радиус описанной окружности) равно $R$. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Следовательно, они связаны соотношением $H^2 + R^2 = l^2$. Для решения задачи в каждом пункте необходимо выразить сторону основания $a$ и высоту $H$ через длину бокового ребра $l$ и заданный угол.

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ?;
Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость ($OA$). Таким образом, в прямоугольном треугольнике $SAO$ (где $SO=H$, $OA=R$, $SA=l$) угол $\angle SAO = \phi$. Из этого треугольника находим высоту $H$ и радиус $R$:
$H = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = l \sin(\phi)$
$R = OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = l \cos(\phi)$
Зная радиус описанной окружности $R$, находим сторону основания $a$:
$a = R\sqrt{3} = l\sqrt{3}\cos(\phi)$
Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(l\sqrt{3}\cos(\phi))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2\cos^2(\phi)\sqrt{3}}{4}$
Наконец, находим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}l^2\cos^2(\phi)}{4} \cdot l\sin(\phi) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^3\cos^2(\phi)\sin(\phi)$.
Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}l^3\cos^2(\phi)\sin(\phi)$.

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол ?;
Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, треугольник $SAB$. Это равнобедренный треугольник, так как боковые ребра равны ($SA=SB=l$). Угол между боковым ребром $SA$ и прилежащей стороной основания $AB$ по условию равен $\alpha$, то есть $\angle SAB = \alpha$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный, то и $\angle SBA = \alpha$. Третий угол треугольника, $\angle ASB = 180^\circ - 2\alpha$. Найдем сторону основания $a = AB$ по теореме синусов в $\triangle SAB$:
$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{l}{\sin\alpha} \implies a = \frac{l\sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{l \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2l\cos\alpha$.
Теперь, зная сторону основания $a$, найдем радиус описанной окружности $R$ и высоту $H$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2l\cos\alpha}{\sqrt{3}}$
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{2l\cos\alpha}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{4l^2\cos^2\alpha}{3}} = l\sqrt{\frac{3 - 4\cos^2\alpha}{3}}$.
Для существования пирамиды необходимо, чтобы $3 - 4\cos^2\alpha \ge 0$, то есть $\alpha \ge 30^\circ$.
Вычислим объем:
$V = \frac{1}{3} \frac{a^2\sqrt{3}}{4} H = \frac{1}{3} \frac{(2l\cos\alpha)^2\sqrt{3}}{4} l\sqrt{\frac{3 - 4\cos^2\alpha}{3}} = \frac{1}{3} \frac{4l^2\cos^2\alpha\sqrt{3}}{4} \frac{l\sqrt{3 - 4\cos^2\alpha}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}l^3\cos^2\alpha\sqrt{3 - 4\cos^2\alpha}$.
Ответ: $V = \frac{1}{3}l^3\cos^2(\alpha)\sqrt{3 - 4\cos^2(\alpha)}$.

в) плоский угол при вершине равен ?.
Плоский угол при вершине — это угол между боковыми ребрами в боковой грани, например, $\angle ASB = \beta$. Рассмотрим боковую грань, равнобедренный треугольник $SAB$ ($SA=SB=l$). Найдем сторону основания $a=AB$ по теореме косинусов:
$a^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cos\beta = 2l^2(1 - \cos\beta)$.
Площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2l^2(1 - \cos\beta)\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}l^2(1 - \cos\beta)$.
Найдем радиус описанной окружности $R$ и высоту $H$:
$R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3} = \frac{2l^2(1 - \cos\beta)}{3}$.
$H^2 = l^2 - R^2 = l^2 - \frac{2l^2(1 - \cos\beta)}{3} = \frac{3l^2 - 2l^2 + 2l^2\cos\beta}{3} = \frac{l^2(1 + 2\cos\beta)}{3}$.
$H = l\sqrt{\frac{1 + 2\cos\beta}{3}}$.
Для существования пирамиды необходимо, чтобы $1+2\cos\beta \ge 0$, то есть $\cos\beta \ge -1/2$, что означает $\beta \le 120^\circ$. Также сумма плоских углов при вершине должна быть меньше $360^\circ$, т.е. $3\beta < 360^\circ \implies \beta < 120^\circ$.
Вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l^2(1 - \cos\beta) \cdot l\sqrt{\frac{1 + 2\cos\beta}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}l^3(1 - \cos\beta)\frac{\sqrt{1 + 2\cos\beta}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{6}l^3(1 - \cos\beta)\sqrt{1 + 2\cos\beta}$.
Ответ: $V = \frac{1}{6}l^3(1 - \cos\beta)\sqrt{1 + 2\cos\beta}$.