gdz.top
Номер 485, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 485, страница 132.
№484
№485 (с. 132)
Условие. №485 (с. 132)
485. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и b. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды.
Решение 2. №485 (с. 132)
Решение 6. №485 (с. 132)
Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его площадь $S_{осн}$ равна:
$$ S_{осн} = \frac{1}{2}ab $$
Согласно условию, каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под одинаковым углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине его гипотенузы.
Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:
$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы:
$$ R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} $$
Радиус $R$ является проекцией бокового ребра на плоскость основания. Высота пирамиды $H$, радиус $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром (гипотенузой этого треугольника) и его проекцией $R$ (катетом) равен $\phi$. Из этого прямоугольного треугольника находим высоту $H$ (второй катет):
$$ \tan(\phi) = \frac{H}{R} $$
Отсюда выразим высоту $H$:
$$ H = R \cdot \tan(\phi) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \tan(\phi) $$
Теперь подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{ab}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \tan(\phi)\right) $$
Упрощая выражение, получаем окончательный результат:
$$ V = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \tan(\phi)}{12} $$
Ответ: $V = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \tan(\phi)}{12}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 485 расположенного на странице 132 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №485 (с. 132), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.