Номер 481, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

481. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если:

а) её высота равна Н, а двугранный угол при основании равен β;

б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.

а) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$. Высота пирамиды по условию равна $H$.

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Рассмотрим линейный угол этого двугранного угла. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании, $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Тогда $SO$ — высота пирамиды, $SO = H$.

Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OM$ к стороне основания $CD$. $M$ будет серединой $CD$. $OM$ является проекцией наклонной $SM$ (апофемы) на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp CD$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при основании, и по условию $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $SO = H$, а катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\mathrm{ctg}\,\beta = \frac{OM}{SO} = \frac{a/2}{H}$

Отсюда выразим сторону основания $a$:

$\frac{a}{2} = H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta \implies a = 2H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta$

Теперь найдем площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = (2H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta)^2 = 4H^2 \mathrm{ctg}^2\beta$

Наконец, вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (4H^2 \mathrm{ctg}^2\beta) \cdot H = \frac{4}{3}H^3 \mathrm{ctg}^2\beta$

Ответ: $V = \frac{4}{3}H^3 \mathrm{ctg}^2\beta$

б) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

По условию, сторона основания (квадрата) равна $m$. Следовательно, площадь основания $S_{осн} = m^2$.

Плоский угол при вершине — это угол при вершине боковой грани. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $\triangle SDC$ — одна из боковых граней. По условию, $\angle DSC = \alpha$. $\triangle SDC$ — равнобедренный, с основанием $DC=m$ и боковыми сторонами $SD=SC$.

Чтобы найти объем, нам нужно определить высоту пирамиды $H = SO$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SKC$ и $\triangle SOK$, где $O$ — центр основания, а $K$ — середина стороны $CD$.

1. В равнобедренном треугольнике $\triangle SDC$ отрезок $SK$ является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, $SK$ — апофема пирамиды. В прямоугольном треугольнике $\triangle SKC$: $KC = \frac{DC}{2} = \frac{m}{2}$ и $\angle KSC = \frac{\angle DSC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Найдем апофему $SK$ из $\triangle SKC$:

$\mathrm{ctg}(\angle KSC) = \frac{SK}{KC} \implies \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{SK}{m/2} \implies SK = \frac{m}{2}\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. Катет $SO$ — это высота пирамиды $H$. Катет $OK$ равен половине стороны основания: $OK = \frac{m}{2}$. Гипотенуза $SK$ — это апофема, которую мы нашли.

По теореме Пифагора $SO^2 + OK^2 = SK^2$:

$H^2 = SK^2 - OK^2 = \left(\frac{m}{2}\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}\right)^2 - \left(\frac{m}{2}\right)^2 = \frac{m^2}{4}\left(\mathrm{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)$

Используем тригонометрическое тождество $\mathrm{ctg}^2x - 1 = \frac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin^2x} = \frac{\cos(2x)}{\sin^2x}$.

$H^2 = \frac{m^2}{4} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^2(\alpha/2)}$

$H = \sqrt{\frac{m^2\cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)}} = \frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin(\alpha/2)}$ (высота существует при $\cos\alpha > 0$, то есть $0 < \alpha < \pi/2$).

Теперь вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} m^2 \cdot \frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin(\alpha/2)} = \frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin(\alpha/2)}$

Ответ: $V = \frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin(\alpha/2)}$