Номер 488, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

488. Найдите объём треугольной пирамиды SABC, если:

а) ∠CAB = 90°, BC = c, ∠ABC = φ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол θ;

б) AB = 12 см, ВС = СА = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°;

в) боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.

а)

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle CAB = 90^{\circ}$. Гипотенуза $BC = c$, а угол $\angle ABC = \phi$. Катеты треугольника равны:
$AB = BC \cdot \cos(\angle ABC) = c \cos\phi$
$AC = BC \cdot \sin(\angle ABC) = c \sin\phi$
Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} (c \cos\phi)(c \sin\phi) = \frac{1}{2} c^2 \sin\phi \cos\phi$.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\phi) = 2 \sin\phi \cos\phi $, получаем:
$S_{осн} = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\phi)$.

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, каждое боковое ребро ($SA, SB, SC$) составляет с плоскостью основания один и тот же угол $\theta$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABC$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды.
Треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$, $\triangle SOC$ — прямоугольные (т.к. $SO \perp (ABC)$). Углы $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \theta$. Из равенства этих треугольников по катету $SO$ и острому углу $\theta$ следует, что $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ — центр описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Значит, точка $O$ — середина гипотенузы $BC$.
Радиус описанной окружности $R = OB = \frac{1}{2} BC = \frac{c}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOB$ находим высоту $H$:
$H = SO = OB \cdot \tan(\angle SBO) = R \tan\theta = \frac{c}{2} \tan\theta$.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} c^2 \sin(2\phi)\right) \cdot \left(\frac{c}{2} \tan\theta\right) = \frac{c^3 \sin(2\phi) \tan\theta}{24}$.

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin(2\phi) \tan\theta}{24}$.

б)

1. Найдём площадь основания.
Основание — треугольник $ABC$ со сторонами $AB=12$ см, $BC=10$ см, $CA=10$ см. Это равнобедренный треугольник.
Вычислим его площадь по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{12+10+10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Площадь основания:
$S_{осн} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = 4 \cdot 2 \cdot 6 = 48$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, двугранные углы при основании равны $45^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания. Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABC$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды, а $O$ — инцентр $\triangle ABC$.
Рассмотрим перпендикуляр $OK$, опущенный из точки $O$ на сторону $AB$. Тогда $SK \perp AB$ (по теореме о трёх перпендикулярах), и угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. По условию, $\angle SKO = 45^{\circ}$.
Длина отрезка $OK$ равна радиусу вписанной окружности $r$.
Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$.
$r = \frac{48}{16} = 3$ см.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$ находим высоту $H$:
$H = SO = OK \cdot \tan(\angle SKO) = r \tan(45^{\circ}) = 3 \cdot 1 = 3$ см.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 3 = 48$ см³.

Ответ: $V = 48$ см³.

в)

По условию, боковые рёбра пирамиды $SABC$ попарно перпендикулярны. Пусть вершина, из которой выходят эти рёбра, — это $S$. Тогда $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Длины этих рёбер равны $a, b$ и $c$. Пусть $SA=a, SB=b, SC=c$.
Такую пирамиду можно рассматривать как часть прямоугольного параллелепипеда, отсеченную плоскостью, проходящей через три вершины, выходящие из одной. Примем за основание пирамиды одну из боковых граней, например, треугольник $SBC$.
1. Найдём площадь основания.
Так как $SB \perp SC$, треугольник $SBC$ является прямоугольным с катетами $SB=b$ и $SC=c$.
Площадь этого треугольника: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{2} bc$.

2. Найдём высоту пирамиды.
Ребро $SA$ перпендикулярно рёбрам $SB$ и $SC$, а значит, оно перпендикулярно всей плоскости основания $(SBC)$.
Следовательно, ребро $SA$ является высотой пирамиды, опущенной на основание $SBC$.
$H = SA = a$.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot SA = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} bc\right) \cdot a = \frac{abc}{6}$.

Ответ: $V = \frac{abc}{6}$.