Номер 492, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

492. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.

Обозначим катеты основания как $a = 24$ дм и $b = 18$ дм, а боковое ребро как $L = 25$ дм.

1. Нахождение площади основания и высоты исходной пирамиды

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Его площадь $S_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216$ дм².

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($L=25$ дм), ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ дм.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15$ дм.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром:
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ дм.

2. Нахождение объема исходной (большой) пирамиды

Объем исходной пирамиды $V_1$ вычисляется по формуле:
$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} \cdot 216 \cdot 20 = 72 \cdot 20 = 1440$ дм³.

3. Нахождение объема усеченной пирамиды

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию и делящей боковое ребро пополам. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот или боковых ребер малой и большой пирамид. Так как боковое ребро делится пополам, то:
$k = \frac{L_{малой}}{L_{большой}} = \frac{25/2}{25} = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Пусть $V_2$ — объем отсеченной (малой) пирамиды. Тогда:
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Отсюда $V_2 = \frac{1}{8} V_1$.

Объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$ равен разности объемов большой и малой пирамид:
$V_{усеч} = V_1 - V_2 = V_1 - \frac{1}{8} V_1 = \frac{7}{8} V_1$.

Подставим найденное значение объема большой пирамиды $V_1$:
$V_{усеч} = \frac{7}{8} \cdot 1440 = 7 \cdot \frac{1440}{8} = 7 \cdot 180 = 1260$ дм³.

Ответ: $1260$ дм³.