Номер 496, страница 133 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Объёмы тел. Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 496, страница 133.

Условие.

496. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

Решение 2.

Решение 6.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса.
По условию, площадь основания $S_{осн} = Q$. Таким образом, формула для объёма принимает вид $V = \frac{1}{3}QH$.
Чтобы найти объём, нам необходимо выразить высоту $H$ через известные величины $Q$ и $P$.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Площадь основания (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$. По условию, $S_{осн} = Q$, следовательно, $\pi R^2 = Q$.
Отсюда мы можем выразить квадрат радиуса: $R^2 = \frac{Q}{\pi}$.

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок} = \pi R L$. По условию, $S_{бок} = P$, следовательно, $\pi R L = P$.
Выразим отсюда образующую $L$: $L = \frac{P}{\pi R}$.
Возведём обе части в квадрат: $L^2 = \frac{P^2}{\pi^2 R^2}$.

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ конуса связаны соотношением по теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.
Отсюда $H^2 = L^2 - R^2$.
Подставим в это равенство выражения для $L^2$ и $R^2$, которые мы нашли ранее:
$H^2 = \frac{P^2}{\pi^2 R^2} - R^2 = \frac{P^2}{\pi^2 (\frac{Q}{\pi})} - \frac{Q}{\pi} = \frac{P^2}{\pi Q} - \frac{Q}{\pi} = \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}$.
Следовательно, высота $H = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$.

Теперь подставим найденное выражение для высоты $H$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3}Q H = \frac{1}{3}Q \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$.
Для упрощения внесём $Q$ под знак корня (возведя в квадрат):
$V = \frac{1}{3}\sqrt{Q^2 \cdot \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q(P^2-Q^2)}{\pi}}$.