Страница 133 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

494. Пусть h, r и V соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите:

Для решения задачи используется формула объёма конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $V$ — объём, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

a)

Найдём объём $V$ конуса, если дано: высота $h = 3$ см и радиус основания $r = 1,5$ см.
Подставим данные значения в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1,5)^2 \cdot 3$
Сокращаем на 3:
$V = \pi \cdot (1,5)^2 = \pi \cdot 2,25 = 2,25\pi$ (см$^3$).
Ответ: $V = 2,25\pi$ см$^3$.

б)

Найдём высоту $h$ конуса, если дано: радиус основания $r = 4$ см и объём $V = 48\pi$ см$^3$.
Выразим высоту $h$ из формулы объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies 3V = \pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2}$
Теперь подставим известные значения в полученную формулу:
$h = \frac{3 \cdot 48\pi}{\pi \cdot 4^2}$
$h = \frac{144\pi}{16\pi}$
Сокращаем $\pi$ и выполняем деление:
$h = \frac{144}{16} = 9$ (см).
Ответ: $h = 9$ см.

в)

Найдём радиус основания $r$ конуса, если дано: высота $h = m$ и объём $V = p$.
Выразим $r$ из формулы объёма. Сначала выразим $r^2$:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies 3V = \pi r^2 h \implies r^2 = \frac{3V}{\pi h}$
Поскольку радиус $r$ должен быть положительным, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$
Подставим заданные значения $V=p$ и $h=m$:
$r = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$
Ответ: $r = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$.

495. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

Пусть $V_1$ и $H_1$ — объём и высота исходного конуса, а $V_2$ и $H_2$ — объём и высота меньшего конуса, который отсекается от исходного плоскостью, параллельной основанию.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Высота исходного конуса: $H_1 = 5$ см.
Плоскость пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины, следовательно, высота меньшего конуса: $H_2 = 2$ см.
Объём меньшего конуса: $V_2 = 24$ см?.
Необходимо найти объём исходного конуса $V_1$.

Меньший конус, отсекаемый от исходного, подобен исходному конусу. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. В данном случае коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:
$k = \frac{H_2}{H_1} = \frac{2}{5}$

Следовательно, отношение объёмов конусов можно записать как:
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (\frac{H_2}{H_1})^3$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{24}{V_1} = (\frac{2}{5})^3$
$\frac{24}{V_1} = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$

Теперь выразим и вычислим объём исходного конуса $V_1$:
$V_1 = \frac{24 \cdot 125}{8}$
Сократим дробь на 8:
$V_1 = 3 \cdot 125 = 375$

Таким образом, объём исходного конуса составляет 375 см?.
Ответ: $375$ см?.

496. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса.
По условию, площадь основания $S_{осн} = Q$. Таким образом, формула для объёма принимает вид $V = \frac{1}{3}QH$.
Чтобы найти объём, нам необходимо выразить высоту $H$ через известные величины $Q$ и $P$.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Площадь основания (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$. По условию, $S_{осн} = Q$, следовательно, $\pi R^2 = Q$.
Отсюда мы можем выразить квадрат радиуса: $R^2 = \frac{Q}{\pi}$.

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок} = \pi R L$. По условию, $S_{бок} = P$, следовательно, $\pi R L = P$.
Выразим отсюда образующую $L$: $L = \frac{P}{\pi R}$.
Возведём обе части в квадрат: $L^2 = \frac{P^2}{\pi^2 R^2}$.

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ конуса связаны соотношением по теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.
Отсюда $H^2 = L^2 - R^2$.
Подставим в это равенство выражения для $L^2$ и $R^2$, которые мы нашли ранее:
$H^2 = \frac{P^2}{\pi^2 R^2} - R^2 = \frac{P^2}{\pi^2 (\frac{Q}{\pi})} - \frac{Q}{\pi} = \frac{P^2}{\pi Q} - \frac{Q}{\pi} = \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}$.
Следовательно, высота $H = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$.

Теперь подставим найденное выражение для высоты $H$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3}Q H = \frac{1}{3}Q \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$.
Для упрощения внесём $Q$ под знак корня (возведя в квадрат):
$V = \frac{1}{3}\sqrt{Q^2 \cdot \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q(P^2-Q^2)}{\pi}}$.

497. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна Н.

Для нахождения объёма конуса воспользуемся стандартной формулой: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $V$ - объём, $R$ - радиус основания, $h$ - высота конуса.

По условию задачи, высота конуса равна $H$. Таким образом, $h = H$.

Также из условия известно, что высота конуса равна диаметру его основания ($D$): $h = D$.

Сопоставив эти два факта, получаем, что $H = D$.

Диаметр основания связан с его радиусом $R$ следующим соотношением: $D = 2R$. Следовательно, мы можем записать $H = 2R$.

Теперь выразим радиус основания $R$ через высоту $H$: $R = \frac{H}{2}$

Подставим полученные выражения для высоты ($h = H$) и радиуса ($R = \frac{H}{2}$) в формулу для объёма конуса: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 H$

Упростим полученное выражение, чтобы найти итоговую формулу для объёма: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{H^2}{2^2}\right) H = \frac{1}{3} \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{\pi H^3}{12}$

Ответ: $V = \frac{\pi H^3}{12}$

498. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи нам даны образующая конуса $L = 13$ см и площадь осевого сечения $S_{сеч} = 60$ см?.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $L$, основание равно диаметру основания конуса $2R$, а высота этого треугольника равна высоте конуса $H$.

Площадь этого треугольника (осевого сечения) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Используя данные из условия, мы получаем первое уравнение: $R \cdot H = 60$

Радиус $R$, высота $H$ и образующая $L$ конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой: $R^2 + H^2 = L^2$

Подставив значение $L$, получаем второе уравнение: $R^2 + H^2 = 13^2 = 169$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} R \cdot H = 60 \\ R^2 + H^2 = 169 \end{cases}$

Выразим $H$ из первого уравнения: $H = \frac{60}{R}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $R^2 + (\frac{60}{R})^2 = 169$ $R^2 + \frac{3600}{R^2} = 169$

Домножим обе части уравнения на $R^2$ (так как $R \ne 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $R^4 + 3600 = 169R^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: $R^4 - 169R^2 + 3600 = 0$

Сделаем замену переменной, пусть $x = R^2$ (где $x > 0$): $x^2 - 169x + 3600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$ $\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Так как $x = R^2$, мы получили два возможных значения для квадрата радиуса. Это означает, что существуют два конуса, удовлетворяющих условиям задачи.

Случай 1: $R^2 = 25 \implies R = 5$ см. Тогда высота $H = \frac{60}{R} = \frac{60}{5} = 12$ см. Найдем объём конуса для этого случая: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см?.

Случай 2: $R^2 = 144 \implies R = 12$ см. Тогда высота $H = \frac{60}{R} = \frac{60}{12} = 5$ см. Найдем объём конуса для этого случая: $V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 \pi = 240\pi$ см?.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $100\pi$ см? или $240\pi$ см?.

499. Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324π см³. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Для решения задачи сначала найдем радиус основания конуса, используя формулу для объёма. Затем, зная радиус и высоту, найдем длину образующей конуса. Наконец, определим угол сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

По условию, $V = 324\pi$ см? и $h = 12$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $r$:

$324\pi = \frac{1}{3}\pi r^2 (12)$

Сократим обе части уравнения на $4\pi$ (поскольку $\frac{12\pi}{3} = 4\pi$):

$\frac{324\pi}{4\pi} = r^2$

$r^2 = 81$

$r = 9$ см.

Теперь найдем образующую конуса $l$. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

$l^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$l = \sqrt{225} = 15$ см.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi r$.

Угол сектора $\alpha$ (в градусах) связан с радиусом основания $r$ и образующей $l$ соотношением:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$

Отсюда можно выразить и вычислить $\alpha$:

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$

$\alpha = \frac{9}{15} \cdot 360^\circ = \frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 3 \cdot 72^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

500. Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм². Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объём конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $h$ — высота.

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$, складывается из площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$. По условию задачи, $S_{полн} = 45\pi$ дм?, значит: $\pi r^2 + \pi r l = 45\pi$. Разделив обе части на $\pi$, получим первое уравнение: $r^2 + r l = 45$.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а центральный угол сектора равен $\alpha = 60°$. Длина дуги этого сектора в точности равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Длину дуги сектора можно найти по формуле $L_{дуги} = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$. Приравняем длину дуги и длину окружности основания: $2\pi r = \frac{2\pi l \cdot 60°}{360°}$ $2\pi r = \frac{2\pi l}{6}$ Сократив $2\pi$ в обеих частях, находим соотношение между радиусом и образующей: $r = \frac{l}{6}$, или $l = 6r$.

Теперь подставим выражение $l = 6r$ в первое уравнение, полученное из площади полной поверхности: $r^2 + r(6r) = 45$ $r^2 + 6r^2 = 45$ $7r^2 = 45$ $r^2 = \frac{45}{7}$ дм?.

Для вычисления объёма конуса необходима его высота $h$. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Выразим высоту: $h^2 = l^2 - r^2$. Используя соотношение $l = 6r$, получаем: $h^2 = (6r)^2 - r^2 = 36r^2 - r^2 = 35r^2$. Теперь подставим найденное значение для $r^2$: $h^2 = 35 \cdot \frac{45}{7} = 5 \cdot 45 = 225$. Следовательно, высота конуса $h = \sqrt{225} = 15$ дм.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим значения $r^2 = \frac{45}{7}$ и $h = 15$: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{45}{7}\right) \cdot 15$ $V = \pi \cdot \frac{45}{3 \cdot 7} \cdot 15$ $V = \pi \cdot \frac{15}{7} \cdot 15$ $V = \frac{225\pi}{7}$ дм?.

Ответ: $\frac{225\pi}{7}$ дм?.

501. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $V$ – объём, $h$ – высота конуса, $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания.

По условию задачи даны радиусы оснований $R = 6$ м и $r = 3$ м, а также образующая $l = 5$ м. Для вычисления объёма необходимо найти высоту $h$.

Высоту усечённого конуса можно найти из прямоугольного треугольника, который образуется осевым сечением конуса. Катетами этого треугольника являются высота усечённого конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой – образующая $l$.

Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:

$5^2 = h^2 + (6-3)^2$

$25 = h^2 + 3^2$

$25 = h^2 + 9$

$h^2 = 25 - 9$

$h^2 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4$ м (так как высота является положительной величиной).

Теперь, когда высота известна, мы можем вычислить объём усечённого конуса, подставив все значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (6^2 + 6 \cdot 3 + 3^2)$

$V = \frac{4}{3} \pi (36 + 18 + 9)$

$V = \frac{4}{3} \pi (63)$

Сократим 63 и 3:

$V = 4 \pi \cdot \frac{63}{3}$

$V = 4 \pi \cdot 21$

$V = 84\pi$ м$^3$.

Ответ: $84\pi$ м$^3$.

502. В усечённом конусе известны высота h, образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Для решения задачи введем обозначения: пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно. По условию задачи нам известны высота $h$, образующая $l$ и площадь боковой поверхности $S$.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией, основаниями которой служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высотой — высота конуса $h$. Площадь этой трапеции, $S_{ос}$, вычисляется по формуле средней линии, умноженной на высоту:

$S_{ос} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S$ определяется формулой:

$S = \pi l (R+r)$

Из этой формулы мы можем выразить сумму радиусов оснований $(R+r)$:

$R+r = \frac{S}{\pi l}$

Теперь подставим полученное выражение для $(R+r)$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{ос} = \left(\frac{S}{\pi l}\right) \cdot h = \frac{Sh}{\pi l}$

Ответ: Площадь осевого сечения равна $\frac{Sh}{\pi l}$.

Объём усечённого конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Чтобы найти объём, нам необходимо выразить $R^2 + Rr + r^2$ через известные величины $S, h, l$. Для этого воспользуемся двумя соотношениями. Первое мы уже использовали:

$R+r = \frac{S}{\pi l}$

Второе соотношение связывает высоту $h$, образующую $l$ и радиусы $R$ и $r$ через прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, образующей и разностью радиусов оснований. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда находим разность радиусов (учитывая, что $l > h$):

$R-r = \sqrt{l^2 - h^2}$

Теперь у нас есть выражения для $R+r$ и $R-r$. Выразим $R^2 + Rr + r^2$ через них. Воспользуемся следующим алгебраическим тождеством:

$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} \left( 3(R+r)^2 + (R-r)^2 \right)$

Подставим в это тождество наши выражения для суммы и разности радиусов:

$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} \left( 3\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2 + \left(\sqrt{l^2 - h^2}\right)^2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$

Наконец, подставим это выражение в формулу для объёма усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h \left[ \frac{1}{4} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right) \right]$

Упрощая, получаем окончательную формулу для объёма:

$V = \frac{\pi h}{12} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$

Это выражение можно также записать в виде суммы двух слагаемых:

$V = \frac{hS^2}{4\pi l^2} + \frac{\pi h(l^2 - h^2)}{12}$

Ответ: Объём усечённого конуса равен $\frac{\pi h}{12} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$.