Страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

534. Основанием четырёхугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и γ. Найдите объём пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная четырехугольная пирамида, где основание $ABCD$ — параллелограмм, а $S$ — вершина. Высота пирамиды по условию равна $H$. Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Поскольку противоположные боковые рёбра попарно равны ($SA=SC$ и $SB=SD$), вершина пирамиды $S$ проецируется в точку пересечения диагоналей основания $O$. Это означает, что высота пирамиды — это отрезок $SO$, и его длина $SO=H$.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. По условию, одна пара равных боковых рёбер (например, $SA$ и $SC$) образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$, следовательно, $\angle SAO = \beta$. Вторая пара рёбер ($SB$ и $SD$) образует угол $\gamma$, т.е. $\angle SBO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (с прямым углом при вершине $O$). Из него можно выразить половину диагонали $AC$:$AO = \frac{SO}{\text{tg}(\beta)} = \frac{H}{\text{tg}(\beta)} = H \text{ctg}(\beta)$.Тогда вся диагональ $AC = d_1 = 2 \cdot AO = 2H \text{ctg}(\beta)$.

Аналогично, из прямоугольного треугольника $\triangle SBO$ выразим половину диагонали $BD$:$BO = \frac{SO}{\text{tg}(\gamma)} = \frac{H}{\text{tg}(\gamma)} = H \text{ctg}(\gamma)$.Тогда вся диагональ $BD = d_2 = 2 \cdot BO = 2H \text{ctg}(\gamma)$.

Площадь основания пирамиды, то есть площадь параллелограмма $ABCD$, вычисляется через его диагонали и угол между ними по формуле:$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$.Подставим найденные выражения для длин диагоналей:$S_{осн} = \frac{1}{2} (2H \text{ctg}(\beta)) (2H \text{ctg}(\gamma)) \sin(\alpha) = 2H^2 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)$.

Объём пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим в неё выражение для площади основания:$V = \frac{1}{3} (2H^2 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)) \cdot H$.

Окончательно получаем объём пирамиды:$V = \frac{2}{3} H^3 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{2}{3} H^3 \sin(\alpha) \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma)$.

535. Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол φ. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы θ. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основанием является ромб $ABCD$ со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды.

По условию, две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Пусть это будут смежные грани $SAB$ и $SAD$. Если две плоскости ($SAB$ и $SAD$) перпендикулярны третьей плоскости ($ABCD$), то их линия пересечения ($SA$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту $H = SA$.

Эти же грани $SAB$ и $SAD$ образуют между собой тупой двугранный угол $\phi$. Ребром этого двугранного угла является прямая $SA$. Так как $SA$ перпендикулярна плоскости основания, то линейным углом этого двугранного угла будет угол между лучами $AB$ и $AD$, то есть $\angle BAD$. Следовательно, тупой угол ромба $\angle BAD = \phi$.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ — это площадь ромба $ABCD$. Её можно вычислить по формуле площади параллелограмма:$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin(\angle BAD) = a^2 \sin(\phi)$.

Две другие боковые грани, $SBC$ и $SDC$, составляют с плоскостью основания двугранные углы, равные $\theta$. Рассмотрим двугранный угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведём перпендикуляр из точки $A$ (основания высоты пирамиды) к прямой $BC$ в плоскости основания. Пусть $AK \perp BC$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SA$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, а $AK$ — проекция наклонной $SK$ на эту плоскость, и $AK \perp BC$, то и наклонная $SK \perp BC$.Следовательно, угол $\angle SKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием. По условию, $\angle SKA = \theta$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. $AK$ — это расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$. В ромбе $ABCD$ расстояние между параллельными сторонами $AD$ и $BC$ является высотой ромба $h_{ромба}$. Острый угол ромба равен $180^\circ - \phi$. Тогда высота ромба $h_{ромба} = a \sin(180^\circ - \phi) = a \sin(\phi)$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AD$, расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно высоте ромба. Таким образом, $AK = a \sin(\phi)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAK$ (угол $\angle SAK = 90^\circ$, так как $SA$ — высота пирамиды). Из определения тангенса угла:$\tan(\angle SKA) = \frac{SA}{AK}$$\tan(\theta) = \frac{H}{a \sin(\phi)}$Отсюда находим высоту пирамиды $H$:$H = a \sin(\phi) \tan(\theta)$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} (a^2 \sin(\phi)) \cdot (a \sin(\phi) \tan(\theta))$$V = \frac{1}{3} a^3 \sin^2(\phi) \tan(\theta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} a^3 \sin^2(\phi) \tan(\theta)$.

536. Два ребра тетраэдра равны b, a остальные четыре ребра равны а. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.

Объем тетраэдра $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Рассмотрим два случая расположения ребер длины $b$.

а) ребра длины b имеют общие точки

Пусть тетраэдр называется $DABC$. Если ребра длины $b$ имеют общую точку, то пусть это будет вершина $D$. Тогда ребра $DA$ и $DB$ имеют длину $b$, то есть $DA = DB = b$. Остальные четыре ребра $AB, BC, AC, DC$ имеют длину $a$.

В качестве основания тетраэдра выберем грань $ABC$. Так как $AB = BC = AC = a$, то основание является равносторонним треугольником со стороной $a$. Площадь такого треугольника равна:
$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Найдем высоту тетраэдра $H$, опущенную из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Пусть $O$ — основание высоты. Так как наклонные $DA$ и $DB$ равны ($DA=DB=b$), то их проекции на плоскость основания также равны, то есть $OA=OB$. Это означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к стороне $AB$ является также медианой и высотой $CM$, где $M$ — середина $AB$.

Для нахождения высоты $H=DO$ воспользуемся методом координат. Поместим середину ребра $AB$, точку $M$, в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль $AB$. Тогда вершины $A$ и $B$ имеют координаты $A(-a/2, 0, 0)$ и $B(a/2, 0, 0)$. Вершина $C$ лежит в плоскости $xy$ на высоте треугольника $ABC$, длина которой равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты $C(0, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть вершина $D$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота тетраэдра $H$ будет равна $|z|$. Запишем условия для длин ребер:
$DA^2 = (x + a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2$
$DB^2 = (x - a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2$
$DC^2 = x^2 + (y - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + z^2 = a^2$

Приравнивая $DA^2$ и $DB^2$, получаем $(x + a/2)^2 = (x - a/2)^2$, откуда $x=0$. Это подтверждает, что вершина $D$ проецируется на высоту $CM$ основания.

Подставим $x=0$ в систему:
$(a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2 \implies y^2 + z^2 = b^2 - a^2/4$
$(y - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + z^2 = a^2 \implies y^2 - ay\sqrt{3} + \frac{3a^2}{4} + z^2 = a^2$

Подставим $z^2 = b^2 - a^2/4 - y^2$ во второе уравнение:
$y^2 - ay\sqrt{3} + \frac{3a^2}{4} + (b^2 - a^2/4 - y^2) = a^2$
$-ay\sqrt{3} + \frac{a^2}{2} + b^2 = a^2 \implies b^2 - \frac{a^2}{2} = ay\sqrt{3} \implies y = \frac{2b^2 - a^2}{2a\sqrt{3}}$

Теперь найдем $z^2$:
$z^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - y^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - \left(\frac{2b^2 - a^2}{2a\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{4b^4 - 4a^2b^2 + a^4}{12a^2}$
$z^2 = \frac{12a^2b^2 - 3a^4 - (4b^4 - 4a^2b^2 + a^4)}{12a^2} = \frac{16a^2b^2 - 4a^4 - 4b^4}{12a^2} = \frac{4a^2b^2 - a^4 - b^4}{3a^2}$

Высота $H = |z| = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - a^4 - b^4}{3a^2}} = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}}{a\sqrt{3}}$.

Вычисляем объем тетраэдра:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}$

Ответ: $V = \frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}$.

б) ребра длины b не имеют общих точек

Пусть ребра $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися и имеют длину $b$. Тогда $AB=CD=b$. Остальные четыре ребра $AC, AD, BC, BD$ имеют длину $a$. В этом случае все четыре грани тетраэдра являются равными равнобедренными треугольниками со сторонами $a, a, b$. Такой тетраэдр называют равногранным.

Объем тетраэдра можно найти через длины скрещивающихся ребер, расстояние и угол между ними по формуле: $V = \frac{1}{6} d_1 d_2 h \sin\phi$, где $d_1, d_2$ — длины ребер, $h$ — расстояние между ними, $\phi$ — угол между ними.

Пусть $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. В силу симметрии тетраэдра, отрезок $MN$ перпендикулярен ребрам $AB$ и $CD$. Его длина $h=MN$ является расстоянием между этими ребрами, а угол $\phi$ между ними равен $90^\circ$.

Найдем длину $h=MN$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Он равнобедренный с $AC=AD=a$ и основанием $CD=b$. $AN$ — медиана, проведенная к основанию, а значит, и высота. Из прямоугольного треугольника $ANC$ по теореме Пифагора:
$AN^2 = AC^2 - CN^2 = a^2 - (b/2)^2 = a^2 - \frac{b^2}{4}$

Теперь рассмотрим треугольник $AMN$. Так как $MN \perp AB$, то $\triangle AMN$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$. $AM = AB/2 = b/2$. По теореме Пифагора:
$h^2 = MN^2 = AN^2 - AM^2 = \left(a^2 - \frac{b^2}{4}\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} = a^2 - \frac{b^2}{2}$
$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}}$

Теперь можем вычислить объем тетраэдра:
$V = \frac{1}{6} \cdot AB \cdot CD \cdot h \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{6} \cdot b \cdot b \cdot \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}} \cdot 1 = \frac{b^2}{6} \sqrt{\frac{2a^2 - b^2}{2}}$
$V = \frac{b^2}{6\sqrt{2}}\sqrt{2a^2 - b^2} = \frac{b^2\sqrt{2}\sqrt{2a^2 - b^2}}{12} = \frac{b^2\sqrt{4a^2 - 2b^2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{b^2\sqrt{4a^2 - 2b^2}}{12}$.

537. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Пусть `a_1` и `a_2` — соответственные стороны меньшего и большего оснований усечённой пирамиды. По условию задачи, их отношение составляет `a_1 : a_2 = 2 : 5`.

Площади оснований, `S_1` и `S_2`, относятся как квадраты их соответственных сторон, поскольку основания являются подобными многоугольниками:`\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}`.

Пусть `h` — высота усечённой пирамиды. Секущая плоскость проходит через середину высоты параллельно основаниям. Эта плоскость делит исходную усечённую пирамиду на две новые усечённые пирамиды (верхнюю и нижнюю), каждая из которых имеет высоту `\frac{h}{2}`.

Обозначим площадь среднего сечения как `S_{ср}`. Для усечённой пирамиды сторона сечения, проходящего через середину высоты, является средним арифметическим соответственных сторон оснований. Пусть `a_{ср}` — сторона среднего сечения, тогда:`a_{ср} = \frac{a_1 + a_2}{2}`.Если принять `a_1 = 2k` и `a_2 = 5k` для некоторого коэффициента пропорциональности `k`, то`a_{ср} = \frac{2k + 5k}{2} = \frac{7k}{2} = 3.5k`.

Теперь мы можем найти отношение площадей всех трёх плоскостей (верхнего основания, среднего сечения и нижнего основания):`S_1 : S_{ср} : S_2 = a_1^2 : a_{ср}^2 : a_2^2 = (2k)^2 : (3.5k)^2 : (5k)^2 = 4k^2 : 12.25k^2 : 25k^2`.Чтобы работать с целыми числами, умножим все части отношения на 4:`16 : 49 : 100`.Примем для удобства расчетов `S_1 = 16S`, `S_{ср} = 49S` и `S_2 = 100S` для некоторой условной единицы площади `S`.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:`V = \frac{1}{3}H(S_A + S_B + \sqrt{S_A S_B})`, где `H` — её высота, а `S_A` и `S_B` — площади её оснований.

Найдём объём верхней части `V_{верх}`, образованной сечением. Её основания — `S_1` и `S_{ср}`, а высота — `\frac{h}{2}`:`V_{верх} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_1 + S_{ср} + \sqrt{S_1 S_{ср}}) = \frac{h}{6} (16S + 49S + \sqrt{16S \cdot 49S})``V_{верх} = \frac{h}{6} (65S + \sqrt{784S^2}) = \frac{h}{6} (65S + 28S) = \frac{h}{6} \cdot 93S`.

Теперь найдём объём нижней части `V_{ниж}`. Её основания — `S_{ср}` и `S_2`, а высота — также `\frac{h}{2}`:`V_{ниж} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_{ср} + S_2 + \sqrt{S_{ср} S_2}) = \frac{h}{6} (49S + 100S + \sqrt{49S \cdot 100S})``V_{ниж} = \frac{h}{6} (149S + \sqrt{4900S^2}) = \frac{h}{6} (149S + 70S) = \frac{h}{6} \cdot 219S`.

Искомое отношение объёмов этих двух частей равно:`\frac{V_{верх}}{V_{ниж}} = \frac{\frac{h}{6} \cdot 93S}{\frac{h}{6} \cdot 219S} = \frac{93}{219}`.Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя (`9+3=12`) и знаменателя (`2+1+9=12`) делится на 3, значит, оба числа делятся на 3:`\frac{93 \div 3}{219 \div 3} = \frac{31}{73}`.Числа 31 и 73 являются простыми, следовательно, это окончательное отношение.

Ответ: плоскость делит объём усечённой пирамиды в отношении 31:73, считая от меньшего основания.

538. Найдите объём цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.

а) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = Q_{осн} \cdot h$, где $Q_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. По условию, площадь основания $Q_{осн} = Q$, следовательно, $V = Q \cdot h$. Нам нужно выразить высоту $h$ через данные величины $S$ и $Q$.
Площадь основания цилиндра (круга) равна $Q = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Отсюда можно выразить радиус: $r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S = 2 \pi r h$. Выразим высоту $h$ из этой формулы: $h = \frac{S}{2 \pi r}$.
Подставим выражение для $r$ в формулу для $h$:
$h = \frac{S}{2 \pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{S}{2 \sqrt{\pi^2 \cdot \frac{Q}{\pi}}} = \frac{S}{2 \sqrt{\pi Q}}$.
Теперь подставим найденное выражение для $h$ в формулу объёма:
$V = Q \cdot h = Q \cdot \frac{S}{2 \sqrt{\pi Q}} = \frac{S \cdot Q}{2 \sqrt{\pi Q}}$.
Упростим выражение, учитывая, что $Q = \sqrt{Q^2}$:
$V = \frac{S \cdot \sqrt{Q^2}}{2 \sqrt{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q^2}{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.
Ответ: $V = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.

б) Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$, где $r$ — радиус основания.
По условию, осевое сечение является квадратом. Это означает, что его стороны равны: $d = h$.
Следовательно, $2r = h$, откуда радиус основания $r = \frac{h}{2}$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Подставим в эту формулу выражение для радиуса $r$ через данную высоту $h$:
$V = \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \pi \frac{h^2}{4} h = \frac{\pi h^3}{4}$.
Ответ: $V = \frac{\pi h^3}{4}$.

в) Так как осевое сечение является квадратом, высота цилиндра $h$ равна его диаметру $d = 2r$. То есть, $h = 2r$.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 Q_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.
По условию, площадь полной поверхности равна $S$.
Подставим в формулу площади полной поверхности соотношение $h = 2r$:
$S = 2 \pi r (2r) + 2 \pi r^2 = 4 \pi r^2 + 2 \pi r^2 = 6 \pi r^2$.
Из этого соотношения выразим $r^2$:
$r^2 = \frac{S}{6 \pi}$.
Нам также понадобится высота $h$. Так как $h=2r$, то $h = 2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Подставим найденные выражения для $r^2$ и $h$ в формулу объёма:
$V = \pi \left(\frac{S}{6 \pi}\right) \left(2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\right) = \frac{S}{6} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}} = \frac{S}{3}\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}$.
Это выражение можно представить в более компактном виде:
$V = \frac{S}{3}\sqrt{\frac{S}{6 \pi}} = \sqrt{\frac{S^2}{9} \cdot \frac{S}{6 \pi}} = \sqrt{\frac{S^3}{54\pi}}$.
Ответ: $V = \sqrt{\frac{S^3}{54\pi}}$.

539. Докажите, что объёмы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.

Доказательство

Рассмотрим два цилиндра. Пусть параметры первого цилиндра (радиус основания и высота) будут $r_1$ и $h_1$, а второго — $r_2$ и $h_2$ соответственно.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Для наших двух цилиндров имеем:

Объем первого цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$
Площадь боковой поверхности первого цилиндра: $S_{бок1} = 2 \pi r_1 h_1$

Объем второго цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$
Площадь боковой поверхности второго цилиндра: $S_{бок2} = 2 \pi r_2 h_2$

По условию задачи, площади их боковых поверхностей равны: $$S_{бок1} = S_{бок2}$$ $$2 \pi r_1 h_1 = 2 \pi r_2 h_2$$

Сократим обе части равенства на $2\pi$: $$r_1 h_1 = r_2 h_2$$ Из этого соотношения мы можем выразить отношение высот цилиндров через отношение их радиусов: $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$$

Теперь найдем отношение объемов этих двух цилиндров: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$$

Сократим $\pi$ и перегруппируем множители: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2}$$

Подставим в полученное выражение найденное ранее отношение высот $\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{r_2}{r_1}$$

Сократим дроби, используя свойства степеней: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}$$

Таким образом, мы доказали, что отношение объемов двух цилиндров с равными площадями боковых поверхностей равно отношению их радиусов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение объемов двух цилиндров с равными площадями боковых поверхностей равно отношению их радиусов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}$.

540. Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет радиус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает?

Для того чтобы определить, сколько литров жидкости вмещает конический бак, необходимо вычислить его объем. Объем конуса вычисляется по следующей формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
где $V$ — это объем, $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

В данной задаче нам известны следующие величины:
- Глубина бака, которая соответствует высоте конуса: $h = 3$ м.
- Радиус круглого верха, который является радиусом основания конуса: $r = 1,5$ м.

Сначала рассчитаем объем бака в кубических метрах ($м^3$), подставив известные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (1,5 \text{ м})^2 \cdot 3 \text{ м}$
Так как в выражении есть умножение на 3 и на $\frac{1}{3}$, они взаимно сокращаются:
$V = \pi \cdot (1,5)^2 = \pi \cdot 2,25 = 2,25\pi \text{ м}^3$.

Далее, необходимо перевести полученный объем из кубических метров в литры. Для этого используется соотношение:
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ литров}$.

Умножим объем в $м^3$ на 1000, чтобы получить объем в литрах:
$V_{\text{литры}} = 2,25\pi \cdot 1000 = 2250\pi \text{ литров}$.

Для получения численного ответа, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$:
$V_{\text{литры}} \approx 2250 \cdot 3,14159 \approx 7068,58 \text{ литров}$.
Округлив результат до целого числа, получаем примерно 7069 литров.

Ответ: бак вмещает $2250\pi$ литров, что составляет приблизительно 7069 литров.

541. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен φ₁. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол φ₂. Найдите объём конуса.

Пусть в конус с вершиной $S$ и центром основания $O$ вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Так как пирамида вписана в конус, ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание (прямоугольник) вписано в окружность, являющуюся основанием конуса.

Согласно условию задачи:
- Меньшая сторона прямоугольника равна $a$. Пусть $AB = CD = a$.
- Острый угол между диагоналями прямоугольника равен $\varphi_1$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB$), и угол при вершине $\angle AOB = \varphi_1$.
- Боковая грань $SAB$, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол $\varphi_2$.

Объем конуса находится по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Для решения задачи необходимо найти $R$ и $H$.

1. Нахождение радиуса основания конуса (R)
Радиус основания конуса $R$ совпадает с радиусом окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$. Этот радиус равен половине диагонали прямоугольника, то есть $R = OA = OB$.Рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{a}{2}$, и угол $\angle AOM = \frac{\varphi_1}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AMO$ (где $\angle AMO = 90^\circ$) находим:$ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \implies \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) = \frac{a/2}{R} $Отсюда выражаем радиус $R$:$ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $

2. Нахождение высоты конуса (H)
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $SO$.Двугранный угол между плоскостью боковой грани $SAB$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $\varphi_2$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$.Для измерения этого угла построим его линейный угол. Из центра основания $O$ опустим перпендикуляр $OM$ на сторону $AB$. Поскольку $O$ — центр прямоугольника, $OM$ перпендикулярен $AB$ и $M$ является серединой $AB$.Соединим вершину $S$ с точкой $M$. Отрезок $SM$ является апофемой боковой грани $SAB$ (так как треугольник $SAB$ равнобедренный с $SA=SB$, его медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp AB$).Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом заданного двугранного угла, и по условию $\angle SMO = \varphi_2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ — высота конуса и перпендикулярна плоскости основания). Из определения тангенса угла:$ \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \tan(\varphi_2) = \frac{H}{OM} $Отсюда $H = OM \cdot \tan(\varphi_2)$.Длину отрезка $OM$ найдем из прямоугольного треугольника $AMO$:$ \tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OM} \implies \tan\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) = \frac{a/2}{OM} $$ OM = \frac{a/2}{\tan\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) $Подставим найденное значение $OM$ в выражение для высоты $H$:$ H = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \tan(\varphi_2) $

3. Вычисление объема конуса (V)
Подставим полученные выражения для радиуса $R$ и высоты $H$ в формулу объема конуса:$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \right)^2 \left( \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \tan(\varphi_2) \right) $Выполним преобразования:$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \cdot \tan(\varphi_2) $$ V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2)}{3 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $$ V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^3\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^3\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}$ или, в другой форме, $V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}$.

542. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом φ. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол θ. Найдите объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус $R$ этой вписанной окружности равен половине высоты ромба.

Найдём высоту ромба $h_p$. В ромбе со стороной $a$ и острым углом $\phi$ высота равна $h_p = a \sin\phi$.

Следовательно, радиус основания конуса равен: $R = \frac{h_p}{2} = \frac{a \sin\phi}{2}$.

Далее найдём высоту конуса $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. По условию, образующая составляет с плоскостью основания угол $\theta$. В данном треугольнике этот угол является углом между образующей (гипотенузой) и радиусом основания (прилежащим катетом).

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan\theta = \frac{H}{R}$.

Отсюда выражаем высоту конуса $H$: $H = R \cdot \tan\theta = \frac{a \sin\phi}{2} \tan\theta$.

Теперь, зная радиус $R$ и высоту $H$, мы можем вычислить объём конуса, подставив найденные значения в исходную формулу: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin\phi}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin\phi \tan\theta}{2}\right)$.

Упростим полученное выражение: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2 \sin^2\phi}{4}\right) \left(\frac{a \sin\phi \tan\theta}{2}\right) = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{24}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{24}$.

543. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

Чтобы найти отношение объёмов цилиндра и шара, необходимо сначала выразить их объёмы через одну и ту же переменную. Пусть радиус вписанного шара равен $r$.

Когда шар вписан в цилиндр, его поверхность касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Это означает, что:

• Радиус основания цилиндра, обозначим его $R$, равен радиусу шара $r$. То есть, $R = r$.
• Высота цилиндра, обозначим ее $H$, равна диаметру шара. Диаметр шара равен двум его радиусам, следовательно, $H = 2r$.

Вспомним формулы для вычисления объёмов:

Объём шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Объём цилиндра ($V_{цилиндра}$) вычисляется по формуле:
$V_{цилиндра} = \pi R^2 H$

Теперь выразим объём цилиндра через радиус шара $r$, подставив в формулу $R = r$ и $H = 2r$:
$V_{цилиндра} = \pi (r)^2 (2r) = 2\pi r^3$

Найдём отношение объёма цилиндра к объёму шара, разделив $V_{цилиндра}$ на $V_{шара}$:
$\frac{V_{цилиндра}}{V_{шара}} = \frac{2\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}$

В этом выражении можно сократить $\pi$ и $r^3$:
$\frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

544. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.

Решение

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 6$ дм, а радиус вписанной в конус сферы $r = 3$ дм. Нам необходимо найти высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы. Обозначим вершины треугольника как $A$ (вершина конуса), $B$ и $C$ (точки на окружности основания). Высота конуса $H$ соответствует высоте $AM$ треугольника, а радиус основания $R$ — отрезку $MC$. Таким образом, $AM = H$ и $MC = R = 6$ дм.

Центр вписанной окружности $O$ (который совпадает с центром вписанной сферы) лежит на высоте $AM$. Радиус этой окружности равен $r = 3$ дм. Проведём радиус $OK$ из точки $O$ к боковой стороне $AC$ (которая является образующей конуса $L$). По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей, следовательно, $OK \perp AC$.

Теперь мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AMC$ (с прямым углом при $M$) и $\triangle AOK$ (с прямым углом при $K$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle CAM$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно: $\frac{MC}{OK} = \frac{AC}{AO}$

Выразим длины сторон через известные величины $R, r$ и неизвестную высоту $H$. Сторона $MC = R = 6$ дм. Радиус $OK = r = 3$ дм. Длина отрезка $AO$ равна разности высоты конуса и радиуса вписанной сферы: $AO = AM - OM = H - r = H - 3$. Длину образующей $AC$ (обозначим ее $L$) найдём по теореме Пифагора из треугольника $\triangle AMC$: $AC = L = \sqrt{AM^2 + MC^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$.

Подставим полученные выражения в пропорцию: $\frac{6}{3} = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$

Упростим и решим это уравнение относительно $H$: $2 = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$ $2(H - 3) = \sqrt{H^2 + 36}$

Возведём обе части уравнения в квадрат. Заметим, что левая часть должна быть положительной, т.е. $H - 3 > 0$, откуда $H > 3$. $(2(H - 3))^2 = (\sqrt{H^2 + 36})^2$ $4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$ $4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$ $3H^2 - 24H = 0$ $3H(H - 8) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $H_1 = 0$ и $H_2 = 8$. Решение $H=0$ не имеет физического смысла для конуса. Следовательно, высота конуса $H = 8$ дм. Это решение удовлетворяет условию $H > 3$.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi$ дм$^3$.

Ответ: $96\pi$ дм$^3$.

545. В конус, радиус основания которого равен r, а образующая равна l, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основанию конуса. Для нахождения ее длины нам необходимо определить ее радиус.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r$ (диаметр основания конуса) и боковыми сторонами $l$ (образующие конуса). В этот треугольник вписана окружность, являющаяся большим кругом вписанной сферы.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $ASB$, где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания. $O$ — центр основания, $SO$ — высота конуса. Таким образом, $SA = l$ и $AO = r$.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности (сечения сферы) и боковой стороны $AS$ (образующей конуса). В трехмерном пространстве все такие точки касания образуют искомую окружность. Радиус этой окружности, обозначим его $r_k$, — это расстояние от точки $K$ до оси конуса $SO$.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Из точки $A$ (точка на окружности основания конуса) проведены касательные к большому кругу вписанной сферы. Одна касательная — это отрезок образующей $AK$. Другая касательная — это радиус основания $AO$, так как сфера касается плоскости основания в его центре $O$. Следовательно, их длины равны: $AK = AO = r$.

Точка $K$ лежит на образующей $SA$. Длина отрезка от вершины конуса до точки касания $K$ равна: $SK = SA - AK = l - r$.

Теперь рассмотрим подобные прямоугольные треугольники. Пусть $P$ — проекция точки $K$ на высоту $SO$. Тогда $KP$ — это и есть искомый радиус $r_k$. Треугольник $\triangle SKP$ подобен треугольнику $\triangle SAO$ (по общему острому углу при вершине $S$).

Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон: $\frac{KP}{AO} = \frac{SK}{SA}$

Подставим известные нам значения: $KP = r_k$, $AO = r$, $SK = l - r$ и $SA = l$. $\frac{r_k}{r} = \frac{l-r}{l}$

Отсюда выразим радиус окружности касания $r_k$: $r_k = \frac{r(l-r)}{l}$

Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r_k$. Найдем ее по формуле $L = 2\pi r_k$: $L = 2\pi \cdot \frac{r(l-r)}{l} = \frac{2\pi r(l-r)}{l}$

Ответ: $\frac{2\pi r(l-r)}{l}$

546. В усечённый конус, радиусы оснований которого равны r и r₁, вписан шар. Найдите отношение объёмов усечённого конуса и шара.

Пусть $r$ и $r_1$ — радиусы оснований усеченного конуса, $H$ — его высота, $L$ — образующая, а $R_{ш}$ — радиус вписанного шара.

Объём усечённого конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi H (r^2 + r r_1 + r_1^2)$

Объём шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{ш}^3$

Для нахождения соотношения между объёмами необходимо связать их параметры ($H$, $R_{ш}$) с радиусами оснований ($r$, $r_1$).

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию с вписанной в неё окружностью (которая является большим кругом шара).

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r$ и $2r_1$. Высота трапеции равна высоте усечённого конуса $H$. Поскольку окружность вписана в трапецию и касается её оснований, её диаметр равен высоте трапеции. Следовательно, высота конуса равна диаметру вписанного шара:$H = 2R_{ш}$

Ключевым свойством описанного четырёхугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность) является равенство сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон (образующих конуса):$2r + 2r_1 = L + L = 2L$Отсюда находим длину образующей:$L = r + r_1$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, образующей $L$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $r - r_1$ (при условии, что $r > r_1$). По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + (r - r_1)^2$

Подставим в это уравнение выражение для $L$:$(r + r_1)^2 = H^2 + (r - r_1)^2$Выразим отсюда $H^2$:$H^2 = (r + r_1)^2 - (r - r_1)^2$Раскроем скобки (или воспользуемся формулой разности квадратов):$H^2 = (r^2 + 2rr_1 + r_1^2) - (r^2 - 2rr_1 + r_1^2) = 4rr_1$Следовательно, высота конуса:$H = \sqrt{4rr_1} = 2\sqrt{rr_1}$

Зная, что $H = 2R_{ш}$, мы можем найти радиус вписанного шара:$2R_{ш} = 2\sqrt{rr_1} \implies R_{ш} = \sqrt{rr_1}$

Теперь у нас есть все необходимые величины, выраженные через $r$ и $r_1$. Подставим их в формулы объёмов:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi H (r^2 + rr_1 + r_1^2) = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{rr_1}) (r^2 + rr_1 + r_1^2)$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{ш}^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{rr_1})^3 = \frac{4}{3} \pi rr_1\sqrt{rr_1}$

Найдём искомое отношение объёмов:$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3} \pi (2\sqrt{rr_1}) (r^2 + rr_1 + r_1^2)}{\frac{4}{3} \pi rr_1\sqrt{rr_1}}$

Сократим общие множители ($\frac{1}{3}$, $\pi$, $\sqrt{rr_1}$):$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{2(r^2 + rr_1 + r_1^2)}{4rr_1} = \frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$

Ответ: $\frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$