Номер 519, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

519. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трёх граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Три грани, которые сходятся в одной вершине, имеют размеры $a \times b$, $b \times c$ и $c \times a$.

Диагональ прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ находится по теореме Пифагора как $\sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, квадраты диагоналей трех граней, выходящих из одной вершины, равны:

$d_1^2 = a^2 + b^2$

$d_2^2 = b^2 + c^2$

$d_3^2 = c^2 + a^2$

По условию задачи, длины этих диагоналей равны 7 см, 8 см и 9 см. Составим систему уравнений, подставив квадраты этих длин:

$a^2 + b^2 = 7^2 = 49$ (1)

$b^2 + c^2 = 8^2 = 64$ (2)

$c^2 + a^2 = 9^2 = 81$ (3)

Чтобы решить эту систему, сложим все три уравнения:

$(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2) = 49 + 64 + 81$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 194$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a^2 + b^2 + c^2 = 97$ (4)

Теперь мы можем найти значения $a^2$, $b^2$ и $c^2$, вычитая из уравнения (4) поочередно уравнения (2), (3) и (1):

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 97 - 64 = 33$

$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (c^2 + a^2) = 97 - 81 = 16$

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 97 - 49 = 48$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Чтобы найти объём, нам не обязательно находить сами стороны $a, b, c$. Мы можем найти квадрат объёма:

$V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$

Подставим найденные значения $a^2, b^2, c^2$:

$V^2 = 33 \cdot 16 \cdot 48$

Разложим числа на простые множители для удобства извлечения корня:

$V^2 = (3 \cdot 11) \cdot 16 \cdot (16 \cdot 3) = 16^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = (16 \cdot 3)^2 \cdot 11 = 48^2 \cdot 11$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти объём $V$:

$V = \sqrt{48^2 \cdot 11} = 48\sqrt{11}$

Объём измеряется в кубических сантиметрах (см?).

Ответ: $48\sqrt{11}$ см$^3$.