Номер 5, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 5. Глава 5. Объёмы тел - номер 5, страница 138.

Условие.

5. Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырёхугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объёмы этих пирамид?

Решение 2.

Решение 6.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высоты двух пирамид равны. Обозначим эту высоту как $h$. Тогда объемы первой и второй пирамид равны соответственно $V_1 = \frac{1}{3}S_1 \cdot h$ и $V_2 = \frac{1}{3}S_2 \cdot h$, где $S_1$ и $S_2$ — площади их оснований.

Чтобы объемы пирамид были равны ($V_1 = V_2$), необходимо, чтобы площади их оснований также были равны ($S_1 = S_2$), поскольку множители $\frac{1}{3}$ и $h$ у них одинаковые.

Основаниями пирамид являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Однако равенство сторон у двух четырехугольников не гарантирует равенства их площадей. В отличие от треугольника, четырехугольник не является жесткой фигурой. Его углы, а следовательно и площадь, могут меняться при неизменных длинах сторон.

Рассмотрим конкретный пример, чтобы доказать это.

Пусть основанием первой пирамиды является квадрат со стороной $a$. Все его стороны равны $a$. Его площадь составляет:

$S_1 = a^2$

Пусть основанием второй пирамиды является ромб, у которого все стороны также равны $a$, но острый угол равен, например, $60^\circ$. Такой четырехугольник имеет соответственно равные стороны с квадратом. Площадь этого ромба вычисляется по формуле:

$S_2 = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Очевидно, что $S_1 \neq S_2$, так как $a^2 \neq a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку площади оснований не равны, то и объемы пирамид с этими основаниями и равной высотой $h$ также не будут равны:

$V_1 = \frac{1}{3}a^2 h$

$V_2 = \frac{1}{3}a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} h$

Следовательно, $V_1 \neq V_2$.

Ответ: Нет, объемы этих пирамид не обязательно равны, так как четырехугольники с соответственно равными сторонами могут иметь разную площадь.