Номер 11, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Во сколько раз объём шара, описанного около куба, больше объёма шара, вписанного в этот же куб?

Для решения этой задачи необходимо найти объемы шара, вписанного в куб, и шара, описанного около того же куба, а затем найти их отношение. Обозначим длину ребра куба как $a$.

1. Объем вписанного шара

Шар, вписанный в куб, касается центра каждой из шести граней куба. Его диаметр равен длине ребра куба. Пусть $r$ — это радиус вписанного шара.

Диаметр вписанного шара $d_{вп} = a$.

Следовательно, его радиус: $r = \frac{a}{2}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим значение нашего радиуса:

$V_{вп} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$.

2. Объем описанного шара

Шар, описанный около куба, проходит через все восемь вершин куба. Его диаметр равен главной диагонали куба. Пусть $R$ — это радиус описанного шара.

Главная диагональ куба ($D_{куба}$) находится по формуле, которая выводится из теоремы Пифагора: $D_{куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр описанного шара $D_{оп} = D_{куба} = a\sqrt{3}$.

Следовательно, его радиус: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим объем описанного шара:

$V_{оп} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8} = \frac{12\pi a^3\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}$.

3. Отношение объемов

Чтобы определить, во сколько раз объем описанного шара больше объема вписанного, найдем их отношение $\frac{V_{оп}}{V_{вп}}$:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi a^3}{6}}$

Для деления дробей умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{6}{\pi a^3}$

Сокращаем общие множители $\pi a^3$:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Таким образом, объём шара, описанного около куба, в $3\sqrt{3}$ раз больше объёма шара, вписанного в этот же куб.

Ответ: $3\sqrt{3}$