Номер 523, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

523. В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять рёбер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объём призмы.

Рассмотрим строение прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник. Такая призма имеет 9 ребер:

• 3 боковых ребра, которые в прямой призме равны между собой. Обозначим их длину $h$. Эта величина является высотой призмы.
• 6 ребер оснований (верхнего и нижнего). Основания — это два равных прямоугольных треугольника. Пусть стороны треугольника в основании — это катеты $c_1$, $c_2$ и гипотенуза $d$. Таким образом, в призме есть два ребра длиной $c_1$, два ребра длиной $c_2$ и два ребра длиной $d$. Для сторон основания должна выполняться теорема Пифагора: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$.

Всего у призмы есть три группы равных по длине боковых ребер (3 ребра длиной $h$) и три группы равных по длине ребер оснований (по 2 ребра длиной $c_1$, $c_2$ и $d$).

По условию задачи, пять из девяти ребер равны $a$, а остальные четыре ребра равны друг другу.

Проанализируем, как могут распределиться длины ребер. Группа из пяти одинаковых ребер может быть составлена из имеющихся групп ребер (размером 3, 2, 2, 2) только одним способом: путем объединения группы из 3 боковых ребер и одной из пар ребер основания. Это означает, что длина бокового ребра $h$ должна быть равна $a$, и длина одной из сторон основания ($c_1$, $c_2$ или $d$) также должна быть равна $a$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пять ребер длиной $a$ — это 3 боковых ребра и 2 катета (например, катеты длиной $c_1$).

В этом случае высота призмы $h = a$ и один из катетов $c_1 = a$. Остальные четыре ребра должны быть равны между собой. Эти ребра — это вторая пара катетов (длиной $c_2$) и пара гипотенуз (длиной $d$). Следовательно, должно выполняться равенство $c_2 = d$. Проверим это по теореме Пифагора для основания: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$. Подставив известные значения, получаем: $a^2 + c_2^2 = d^2$. Так как $c_2 = d$, уравнение принимает вид $a^2 + d^2 = d^2$, что сводится к $a^2 = 0$. Это означает, что $a=0$, что невозможно для длины ребра. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Пять ребер длиной $a$ — это 3 боковых ребра и 2 гипотенузы оснований.

В этом случае высота призмы $h = a$ и гипотенуза $d = a$. Остальные четыре ребра должны быть равны между собой. Эти ребра — две пары катетов (два ребра длиной $c_1$ и два ребра длиной $c_2$). Чтобы все четыре ребра были равны, необходимо, чтобы $c_1 = c_2$. Проверим это условие с помощью теоремы Пифагора для основания: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$. Подставив наши значения, получаем: $c_1^2 + c_1^2 = a^2$, то есть $2c_1^2 = a^2$. Отсюда находим длину катетов: $c_1 = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Итак, основанием является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $\frac{a}{\sqrt{2}}$ и гипотенузой $a$. Высота призмы равна $a$. Данная конфигурация полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, мы однозначно определили параметры призмы и можем найти ее объем. Объем $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Основание — это прямоугольный треугольник с катетами $c_1 = c_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c_1 \cdot c_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Высота призмы $h = a$.

Объем призмы равен: $V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{4}$.

Ответ: $\frac{a^3}{4}$