Номер 521, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 521, страница 139.

521. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 32 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямого параллелепипеда определяется формулой $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти площадь основания, затем найти высоту параллелепипеда и, наконец, вычислить объём.

1. Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 7$ см и $b = 3\sqrt{2}$ см, и острым углом между ними $\alpha = 45^\circ$. Площадь параллелограмма находится по формуле:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем данные задачи:

$S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 21\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 21 \cdot \frac{2}{2} = 21 \text{ см}^2$.

2. Нахождение высоты параллелепипеда

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Эта диагональ, высота параллелепипеда ($h$) и меньшая диагональ основания ($d_1$) образуют прямоугольный треугольник. Угол $45^\circ$ — это угол между диагональю параллелепипеда и её проекцией на основание, то есть диагональю основания.

Сначала найдем длину меньшей диагонали основания ($d_1$). В параллелограмме меньшая диагональ лежит напротив острого угла. Используем теорему косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)$

$d_1^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$d_1^2 = 49 + 9 \cdot 2 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1^2 = 49 + 18 - 42 = 25$

$d_1 = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$ и диагональю основания $d_1$, тангенс угла наклона диагонали параллелепипеда равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($d_1$):

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_1}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $h = d_1$. Таким образом, высота параллелепипеда равна:

$h = 5 \text{ см}$.

3. Вычисление объёма параллелепипеда

Зная площадь основания ($S_{осн} = 21 \text{ см}^2$) и высоту ($h = 5 \text{ см}$), находим объём:

$V = S_{осн} \cdot h = 21 \cdot 5 = 105 \text{ см}^3$.

Ответ: $105 \text{ см}^3$.