Номер 522, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 522, страница 139.

Условие.

522. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали BD₁ и А₁С взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB = 3 см. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в вершине D. Введем три вектора, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из этой вершины: $\vec{DA} = \vec{u}$, $\vec{DC} = \vec{v}$, $\vec{DD_1} = \vec{w}$.

Пусть длины этих векторов равны $|\vec{u}| = b$, $|\vec{v}| = a$, $|\vec{w}| = h$.Из условия задачи известно, что сторона $AB = 3$ см. Так как основание $ABCD$ — параллелограмм, то $DC = AB$, следовательно, $a = |\vec{v}| = 3$ см.Поскольку параллелепипед прямой, его боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что вектор $\vec{w}$ перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$, то есть их скалярные произведения равны нулю: $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ и $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$.

Выразим векторы диагоналей параллелепипеда $BD_1$ и $A_1C$ через введенные нами векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$:
$\vec{BD_1} = \vec{D_1} - \vec{B} = \vec{w} - (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{w} - \vec{u} - \vec{v}$
$\vec{A_1C} = \vec{C} - \vec{A_1} = \vec{v} - (\vec{u} + \vec{w}) = \vec{v} - \vec{u} - \vec{w}$

По условию, длины этих диагоналей равны 6 см и 8 см. Возведем их длины в квадрат, используя скалярное произведение векторов на самих себя:
$|\vec{BD_1}|^2 = (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) = |\vec{w}|^2 + |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{w} \cdot \vec{u}) - 2(\vec{w} \cdot \vec{v}) + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$
Учитывая, что $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ и $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$, получаем:
$|\vec{BD_1}|^2 = h^2 + b^2 + a^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 6^2 = 36$ (1)
Аналогично для второй диагонали:
$|\vec{A_1C}|^2 = (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) \cdot (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 + |\vec{w}|^2 - 2(\vec{v} \cdot \vec{u}) - 2(\vec{v} \cdot \vec{w}) + 2(\vec{u} \cdot \vec{w})$
$|\vec{A_1C}|^2 = a^2 + b^2 + h^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 8^2 = 64$ (2)

Также по условию диагонали взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{BD_1} \cdot \vec{A_1C} = (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) = 0$
Раскроем скобки:
$(\vec{w} \cdot \vec{v}) - (\vec{w} \cdot \vec{u}) - (\vec{w} \cdot \vec{w}) - (\vec{u} \cdot \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{w}) - (\vec{v} \cdot \vec{v}) + (\vec{v} \cdot \vec{u}) + (\vec{v} \cdot \vec{w}) = 0$
$0 - 0 - |\vec{w}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2 + 0 - |\vec{v}|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v}) + 0 = 0$
$|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0$, то есть $b^2 - a^2 - h^2 = 0$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с неизвестными $b, h$ и $(\vec{u} \cdot \vec{v})$, при известном $a=3$:
1) $h^2 + b^2 + a^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 36$
2) $h^2 + b^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 64$
3) $b^2 - a^2 - h^2 = 0$
Сложим уравнения (1) и (2):
$2(h^2 + b^2 + a^2) = 36 + 64 = 100 \implies h^2 + b^2 + a^2 = 50$
Подставим $a=3$ ($a^2=9$):
$h^2 + b^2 + 9 = 50 \implies h^2 + b^2 = 41$ (4)
Из уравнения (3) выразим $b^2$:
$b^2 = a^2 + h^2 = 9 + h^2$ (5)
Подставим (5) в (4):
$h^2 + (9 + h^2) = 41 \implies 2h^2 = 32 \implies h^2 = 16 \implies h = 4$ см.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Нам нужно найти площадь основания $S_{осн}$. Основание — это параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними. Его площадь $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha$.
Вычтем уравнение (2) из (1):
$4(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 36 - 64 = -28 \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = -7$
С другой стороны, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha = b \cdot a \cdot \cos\alpha$.
Найдем $b$ из уравнения (5): $b^2 = 9 + h^2 = 9 + 16 = 25 \implies b=5$ см.
Теперь найдем косинус угла $\alpha$:
$5 \cdot 3 \cdot \cos\alpha = -7 \implies \cos\alpha = -\frac{7}{15}$
Найдем синус угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол в параллелограмме $0 < \alpha < \pi$, то $\sin\alpha > 0$.
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{7}{15}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{225}} = \sqrt{\frac{225-49}{225}} = \sqrt{\frac{176}{225}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 11}}{15} = \frac{4\sqrt{11}}{15}$
Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\alpha = 3 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{15} = 15 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{15} = 4\sqrt{11}$ см$^2$.

Наконец, находим объём параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{11} \cdot 4 = 16\sqrt{11}$ см$^3$.

Ответ: $16\sqrt{11}$ см$^3$.