Номер 527, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

527. На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка АА₁, ВВ₁ и СС₁. Докажите, что объём призмы, боковыми рёбрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Обозначим три данные параллельные прямые как $l_A, l_B, l_C$. Пусть точки $A, A_1$ лежат на $l_A$; $B, B_1$ — на $l_B$; $C, C_1$ — на $l_C$. Отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ являются боковыми ребрами призмы $ABCA_1B_1C_1$. По определению призмы, ее боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Обозначим этот общий вектор бокового ребра как $\vec{L}$.

Объем $V$ треугольной призмы может быть вычислен как половина модуля смешанного произведения векторов, образующих ребра, исходящие из одной вершины. Для призмы $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$ и боковым ребром $AA_1$ объем равен:

$V = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}| = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}|$

Теперь рассмотрим, как изменится объем, если сдвинуть отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ вдоль их прямых. Пусть $\vec{u}$ — единичный направляющий вектор параллельных прямых $l_A, l_B, l_C$. Так как отрезок $AA_1$ лежит на прямой $l_A$, вектор бокового ребра $\vec{L} = \vec{AA_1}$ коллинеарен вектору $\vec{u}$.

Смещение отрезков означает, что их начальные точки $A, B, C$ перемещаются в новые положения $A', B', C'$ вдоль своих прямых. Это можно представить в виде векторов смещения: $\vec{AA'} = t_A \vec{u}$, $\vec{BB'} = t_B \vec{u}$, $\vec{CC'} = t_C \vec{u}$, где $t_A, t_B, t_C$ — некоторые скалярные величины, соответствующие длинам смещения. Новые вершины основания призмы — это $A', B', C'$. Поскольку длина и направление боковых ребер не меняются, вектор бокового ребра для новой призмы остается прежним: $\vec{A'A'_1} = \vec{L}$.

Найдем векторы, образующие основание новой призмы $A'B'C'$:

$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = (\vec{OA} + t_A \vec{u}) - (\vec{OB} + t_B \vec{u}) = (\vec{OB} - \vec{OA}) + (t_B - t_A)\vec{u} = \vec{AB} + (t_B - t_A)\vec{u}$

$\vec{A'C'} = \vec{OC'} - \vec{OA'} = (\vec{OA} + t_A \vec{u}) - (\vec{OC} + t_C \vec{u}) = (\vec{OC} - \vec{OA}) + (t_C - t_A)\vec{u} = \vec{AC} + (t_C - t_A)\vec{u}$

Объем новой призмы $V'$ равен:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L}|$

Подставим выражения для $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ в формулу для смешанного произведения:

$(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = ((\vec{AB} + (t_B - t_A)\vec{u}) \times (\vec{AC} + (t_C - t_A)\vec{u})) \cdot \vec{L}$

Используя свойство дистрибутивности векторного и скалярного произведений (линейность смешанного произведения), раскроем скобки:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L} + (\vec{AB} \times (t_C - t_A)\vec{u}) \cdot \vec{L} + ((t_B - t_A)\vec{u} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L} + ((t_B - t_A)\vec{u} \times (t_C - t_A)\vec{u}) \cdot \vec{L}$

Рассмотрим слагаемые в этом выражении. Второе, третье и четвертое слагаемые содержат смешанное произведение трех векторов, два из которых ($\vec{u}$ и $\vec{L}$) коллинеарны. Смешанное произведение трех векторов, среди которых есть два коллинеарных, равно нулю, так как такие три вектора всегда лежат в одной плоскости (компланарны).

Таким образом, все эти три слагаемых равны нулю. Например, для второго слагаемого: $(t_C - t_A)(\vec{AB} \times \vec{u}) \cdot \vec{L} = 0$, так как векторы $\vec{u}$ и $\vec{L}$ параллельны.

В результате мы получаем:

$(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}$

Это означает, что модуль смешанного произведения не изменился. Следовательно, объем призмы остался прежним:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L}| = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}| = V$

Мы доказали, что объем призмы не зависит от положения отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ на данных параллельных прямых. Что и требовалось доказать.

Ответ: Объем призмы не зависит от положения ее боковых ребер на данных параллельных прямых. Это следует из того, что величина смешанного произведения векторов, определяющих объем призмы, инвариантна относительно сдвига вершин оснований вдоль этих прямых. Математически, $(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}$, где $A'B'C'$ — новое основание, а $L$ — вектор бокового ребра.