Номер 556, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

556. Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см³.)

Для того чтобы определить, будет ли полый шар плавать в воде, необходимо сравнить его среднюю плотность ($?_{ср}$) с плотностью воды ($?_{воды}$). Плотность пресной воды принимаем равной $?_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$.

Тело плавает, если его средняя плотность меньше или равна плотности жидкости ($?_{ср} \le ?_{воды}$).

Тело тонет, если его средняя плотность больше плотности жидкости ($?_{ср} > ?_{воды}$).

Средняя плотность полого шара вычисляется как отношение его массы к его внешнему объему. Масса шара — это произведение плотности меди ($?_{меди}$) на объем меди ($V_{меди}$).

$?_{ср} = \frac{m_{шара}}{V_{внешн}} = \frac{?_{меди} \cdot V_{меди}}{V_{внешн}}$

Объем меди ($V_{меди}$) — это разность между внешним ($V_{внешн}$) и внутренним ($V_{внутр}$) объемами шара.

$V_{меди} = V_{внешн} - V_{внутр} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$

где $R$ — внешний радиус, а $r$ — внутренний радиус.

Подставив это в формулу для средней плотности, получим:

$?_{ср} = \frac{?_{меди} \cdot \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = ?_{меди} \frac{R^3 - r^3}{R^3} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right)$

Исходные данные:

Внешний диаметр шара $D = 10 \text{ см}$, следовательно, внешний радиус $R = \frac{D}{2} = 5 \text{ см}$.

Плотность меди $?_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3$.

Внутренний радиус $r$ вычисляется как $r = R - h$, где $h$ — толщина стенки.

а) 2 мм

1. Переведем толщину стенки в сантиметры:

$h = 2 \text{ мм} = 0,2 \text{ см}$

2. Найдем внутренний радиус шара:

$r = R - h = 5 \text{ см} - 0,2 \text{ см} = 4,8 \text{ см}$

3. Рассчитаем среднюю плотность шара:

$?_{ср} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right) = 8,9 \cdot \left(1 - \left(\frac{4,8}{5}\right)^3\right) = 8,9 \cdot (1 - 0,96^3)$

$?_{ср} = 8,9 \cdot (1 - 0,884736) = 8,9 \cdot 0,115264 \approx 1,026 \text{ г/см}^3$

4. Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды:

$1,026 \text{ г/см}^3 > 1 \text{ г/см}^3$, то есть $?_{ср} > ?_{воды}$.

Поскольку средняя плотность шара больше плотности воды, шар утонет.

Ответ: нет, шар с толщиной стенки 2 мм в воде утонет.

б) 1,5 мм

1. Переведем толщину стенки в сантиметры:

$h = 1,5 \text{ мм} = 0,15 \text{ см}$

2. Найдем внутренний радиус шара:

$r = R - h = 5 \text{ см} - 0,15 \text{ см} = 4,85 \text{ см}$

3. Рассчитаем среднюю плотность шара:

$?_{ср} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right) = 8,9 \cdot \left(1 - \left(\frac{4,85}{5}\right)^3\right) = 8,9 \cdot (1 - 0,97^3)$

$?_{ср} = 8,9 \cdot (1 - 0,912673) = 8,9 \cdot 0,087327 \approx 0,777 \text{ г/см}^3$

4. Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды:

$0,777 \text{ г/см}^3 < 1 \text{ г/см}^3$, то есть $?_{ср} < ?_{воды}$.

Поскольку средняя плотность шара меньше плотности воды, шар будет плавать.

Ответ: да, шар с толщиной стенки 1,5 мм будет плавать в воде.