Номер 560, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

560. На рисунке 158 изображён тетраэдр ABCD, рёбра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон AB, AD, DC, ВС.

а) Выпишите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке.

б) Определите вид четырёхугольника MNPQ.

а) По условию, точки $M, N, P, Q$ являются серединами рёбер $AB, AD, DC, BC$ тетраэдра $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{BD}$ и его длина равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, можно записать векторное равенство $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $QP$ соединяет середины сторон $BC$ и $DC$. Следовательно, $QP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{QP}$ также сонаправлен вектору $\vec{BD}$ и его длина равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{QP} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Из полученных равенств следует, что $\vec{MN} = \vec{QP}$. Это первая пара равных векторов. Векторы, противоположные равным векторам, также равны, поэтому $\vec{NM} = \vec{PQ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MQ$ является средней линией. Отсюда $\vec{MQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NP$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AD$ и $DC$. Отсюда $\vec{NP} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Из последних двух равенств следует, что $\vec{MQ} = \vec{NP}$. Это третья пара равных векторов. Соответственно, равны и противоположные им векторы: $\vec{QM} = \vec{PN}$.

Ответ: Пары равных векторов: ($\vec{MN}$, $\vec{QP}$); ($\vec{NM}$, $\vec{PQ}$); ($\vec{MQ}$, $\vec{NP}$); ($\vec{QM}$, $\vec{PN}$).

б) Чтобы определить вид четырёхугольника $MNPQ$, воспользуемся результатами из пункта а).

Мы установили, что $\vec{MN} = \vec{QP}$. Равенство векторов означает, что они коллинеарны (их несущие прямые параллельны) и их длины равны. Таким образом, стороны $MN$ и $QP$ четырёхугольника $MNPQ$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $MNPQ$ — параллелограмм.

По условию, все рёбра тетраэдра $ABCD$ равны. Пусть длина каждого ребра равна $a$. Это означает, что $ABCD$ — правильный тетраэдр, и, в частности, длины скрещивающихся рёбер $AC$ и $BD$ равны: $|AC| = |BD| = a$.

Найдём длины смежных сторон параллелограмма $MNPQ$:

$|MN| = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{a}{2}$

$|NP| = |\vec{NP}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{a}{2}$

Поскольку смежные стороны параллелограмма равны ($|MN| = |NP|$), $MNPQ$ является ромбом.

Теперь определим угол между смежными сторонами $MN$ и $NP$. Этот угол равен углу между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$, а значит, и углу между прямыми, содержащими скрещивающиеся рёбра $BD$ и $AC$ (так как $MN || BD$ и $NP || AC$).

Докажем, что в правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра перпендикулярны. Выберем в качестве базисных векторы, выходящие из вершины D: $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$. Так как тетраэдр правильный, длины этих векторов равны $a$, а углы между любыми двумя из них равны $60^\circ$. Скалярное произведение этих векторов: $\vec{DA} \cdot \vec{DB} = \vec{DB} \cdot \vec{DC} = \vec{DC} \cdot \vec{DA} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

Выразим векторы скрещивающихся рёбер $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через базисные векторы: $\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA}$ $\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}$ (если начало в D), т.е. $\vec{BD} = -\vec{DB}$.

Найдём их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{DC} - \vec{DA}) \cdot (-\vec{DB}) = -(\vec{DC} \cdot \vec{DB}) + (\vec{DA} \cdot \vec{DB}) = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. А значит, и стороны ромба $NP$ и $MN$ перпендикулярны. Таким образом, угол $\angle MNP = 90^\circ$.

Поскольку $MNPQ$ — ромб, у которого один из углов прямой, он является квадратом.

Ответ: Четырёхугольник $MNPQ$ — квадрат.