Номер 565, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 565, страница 148.

Условие.

565. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что:

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства векторных равенств будем использовать правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, которое гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$. Также будем использовать свойство коммутативности сложения векторов: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

а) Докажем равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.

Рассмотрим левую часть равенства. По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D):

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Аналогично, по правилу треугольника:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.

б) Докажем равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{AD}$.

Преобразуем левую часть, используя правило треугольника:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Преобразуем правую часть. Используя коммутативность сложения, поменяем слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:

$\vec{DC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{DC}$

Применяем правило треугольника:

$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$

Левая и правая части равенства равны вектору $\vec{AC}$, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.

в) Докажем равенство $\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{BA}$.

Преобразуем левую часть равенства. Поменяем слагаемые местами:

$\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BD} + \vec{DC}$

По правилу треугольника:

$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Теперь преобразуем правую часть равенства, также поменяв слагаемые местами:

$\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC}$

По правилу треугольника:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BC}$, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.