Страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

564. На рисунке 157 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде и правилами сложения векторов (правило треугольника и правило параллелограмма).

Основные свойства: векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам параллелепипеда, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$.

а) $\vec{AB} + \vec{A_1D_1}$

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как они сонаправлены и их длины равны (противоположные стороны параллелограмма $ADD_1A_1$).

Заменим в сумме вектор $\vec{A_1D_1}$ на $\vec{AD}$:

$\vec{AB} + \vec{A_1D_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, выходящих из одной точки $A$, находим по правилу параллелограмма. Эта сумма равна вектору диагонали параллелограмма $ABCD$, исходящей из вершины $A$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$.

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Разложим вектор $\vec{AD_1}$ по правилу треугольника в треугольнике $ADD_1$: $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DD_1}) = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{DD_1}$

Как мы нашли в пункте (а), сумма $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Тогда выражение принимает вид:

$\vec{AC} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$ (параллельные ребра). Заменяем:

$\vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника (правило последовательного соединения векторов), эта сумма равна $\vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1}$.

в) $\vec{DA} + \vec{B_1B}$

Для удобства сложения заменим векторы на равные им. Вектор $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{C_1B_1}$ (так как $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$, а $\vec{DA} = -\vec{AD}$ и $\vec{C_1B_1} = -\vec{B_1C_1}$).

Заменим в сумме вектор $\vec{DA}$ на $\vec{C_1B_1}$:

$\vec{DA} + \vec{B_1B} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1B}$

Векторы $\vec{C_1B_1}$ и $\vec{B_1B}$ соединены последовательно (конец первого является началом второго). По правилу треугольника, их сумма равна вектору, идущему от начала первого к концу второго.

$\vec{C_1B_1} + \vec{B_1B} = \vec{C_1B}$

Ответ: $\vec{C_1B}$.

г) $\vec{DD_1} + \vec{DB}$

Оба вектора, $\vec{DD_1}$ и $\vec{DB}$, выходят из одной точки $D$. Рассмотрим четырехугольник $DBB_1D_1$. Так как $\vec{DD_1}$ параллелен и равен $\vec{BB_1}$, а $\vec{DB}$ параллелен и равен $\vec{D_1B_1}$, то $DBB_1D_1$ — параллелограмм.

По правилу параллелограмма, сумма векторов $\vec{DD_1}$ и $\vec{DB}$ равна вектору диагонали этого параллелограмма, выходящей из их общего начала $D$.

$\vec{DD_1} + \vec{DB} = \vec{DB_1}$

Ответ: $\vec{DB_1}$.

д) $\vec{DB_1} + \vec{BC}$

Заменим вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{B_1C_1}$ (противоположные стороны грани $BCC_1B_1$).

$\vec{DB_1} + \vec{BC} = \vec{DB_1} + \vec{B_1C_1}$

Конец вектора $\vec{DB_1}$ (точка $B_1$) совпадает с началом вектора $\vec{B_1C_1}$. Применим правило треугольника:

$\vec{DB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{DC_1}$

Ответ: $\vec{DC_1}$.

565. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что:

Для доказательства векторных равенств будем использовать правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, которое гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$. Также будем использовать свойство коммутативности сложения векторов: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

а) Докажем равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.

Рассмотрим левую часть равенства. По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D):

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Аналогично, по правилу треугольника:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.

б) Докажем равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{AD}$.

Преобразуем левую часть, используя правило треугольника:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Преобразуем правую часть. Используя коммутативность сложения, поменяем слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:

$\vec{DC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{DC}$

Применяем правило треугольника:

$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$

Левая и правая части равенства равны вектору $\vec{AC}$, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.

в) Докажем равенство $\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{BA}$.

Преобразуем левую часть равенства. Поменяем слагаемые местами:

$\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BD} + \vec{DC}$

По правилу треугольника:

$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Теперь преобразуем правую часть равенства, также поменяв слагаемые местами:

$\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC}$

По правилу треугольника:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BC}$, исходное равенство верно.

Ответ: Доказано.

566. Назовите все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, которые: а) противоположны вектору CB; б) противоположны вектору B₁A; в) равны вектору −DC; г) равны вектору −A₁B₁.

Для решения задачи воспользуемся определениями равных и противоположных векторов, а также свойствами параллелепипеда. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются параллелограммами. Это означает, что противоположные рёбра на каждой грани параллельны и равны по длине. Кроме того, все боковые рёбра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) параллельны и равны друг другу.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, обозначается как $-\vec{v}$. Например, $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

а) противоположны вектору $\vec{CB}$

Векторы, противоположные вектору $\vec{CB}$, должны быть сонаправлены с вектором $\vec{BC}$ и равны ему по длине. То есть нам нужно найти все векторы, равные вектору $\vec{BC}$.

Рёбра, параллельные и равные ребру $BC$, это $AD$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$.

Рассмотрим векторы, образованные этими рёбрами:

• Вектор $\vec{BC}$ — исходный вектор, противоположный $\vec{CB}$.
• В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.
• В параллелограмме $BCC_1B_1$ вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$.
• В параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1C_1}$, а значит, и вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{CB}$, это $\vec{BC}$, $\vec{AD}$, $\vec{B_1C_1}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Ответ: $\vec{BC}$, $\vec{AD}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{A_1D_1}$.

б) противоположны вектору $\vec{B_1A}$

Вектор $\vec{B_1A}$ соединяет вершины $B_1$ и $A$ и является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, не могут быть равны или противоположны диагонали грани (в невырожденном случае), так как их длины и/или направления не совпадают.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Логично предположить, что имелся в виду вектор, образованный ребром, например, $\vec{B_1B}$ или $\vec{B_1A_1}$. Рассмотрим вариант, что имелся в виду вектор $\vec{B_1B}$, так как другие пункты задачи рассматривают векторы вдоль двух других направлений рёбер.

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1B}$, это вектор $\vec{BB_1}$. Нам нужно найти все векторы, равные $\vec{BB_1}$.

Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине. Векторы, направленные вдоль этих рёбер от нижнего основания к верхнему, равны между собой. Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Ответ: $\vec{BB_1}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

в) равны вектору $-\vec{DC}$

Вектор $-\vec{DC}$ равен вектору $\vec{CD}$. Следовательно, нам нужно найти все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, которые равны вектору $\vec{CD}$.

Рёбра, параллельные и равные ребру $CD$, это $BA$, $C_1D_1$ и $B_1A_1$.

Рассмотрим векторы, образованные этими рёбрами:

• Вектор $\vec{CD}$ — искомый вектор.
• В параллелограмме $ABCD$ имеем $\vec{AB} = \vec{DC}$, откуда $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{DC} = \vec{CD}$.
• В параллелограмме $CDD_1C_1$ вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{CD}$.
• В параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{B_1A_1}$ равен вектору $\vec{C_1D_1}$, а значит, и вектору $\vec{CD}$.

Таким образом, искомые векторы: $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{B_1A_1}$.

Ответ: $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$, $\vec{B_1A_1}$.

г) равны вектору $-\vec{A_1B_1}$

Вектор $-\vec{A_1B_1}$ равен вектору $\vec{B_1A_1}$. Нам нужно найти все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, которые равны вектору $\vec{B_1A_1}$.

Как было установлено в пункте (в), векторы $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{B_1A_1}$ равны между собой.

Следовательно, векторы, равные вектору $\vec{B_1A_1}$, это $\vec{BA}$ (из параллелограмма $ABB_1A_1$), $\vec{C_1D_1}$ (из параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$) и $\vec{CD}$ (поскольку $\vec{CD} = \vec{BA}$).

Таким образом, искомые векторы: $\vec{B_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$.

Ответ: $\vec{B_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$.

567. Нарисуйте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и обозначьте векторы C₁D₁, BA₁, AD соответственно через a, b, c. Изобразите на рисунке векторы:

Сначала нарисуем параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и обозначим на нем заданные векторы. По условию задачи, $\vec{a} = \overrightarrow{C_1D_1}$, $\vec{b} = \overrightarrow{BA_1}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{AD}$.

Для решения задачи выразим некоторые ключевые векторы параллелепипеда через заданные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
1. Из свойств параллелепипеда известно, что параллельные ребра равны и сонаправлены, поэтому $\overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$. Следовательно, $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$.
2. Аналогично, $\vec{c} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{B_1C_1}$.
3. Рассмотрим вектор $\vec{b} = \overrightarrow{BA_1}$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1}$. Подставляя $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$, получаем $\vec{b} = \vec{a} + \overrightarrow{AA_1}$. Отсюда можно выразить вектор бокового ребра: $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$.
Теперь найдем требуемые векторы.

а) Найдем вектор $\vec{a} - \vec{b}$. Исходя из того, что $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$, мы можем записать: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a}) = -\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1A}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{A_1A}$.

б) Найдем вектор $\vec{a} - \vec{c}$. Воспользуемся равенствами $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{BC}$. Тогда разность векторов $\vec{a} - \vec{c} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало, эта разность равна вектору, соединяющему их концы и направленному от конца вычитаемого к концу уменьшаемого: $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{c} = \overrightarrow{CA}$.

в) Найдем вектор $\vec{b} - \vec{a}$. Как мы уже установили ранее при анализе векторов, $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a} = \overrightarrow{AA_1}$.

г) Найдем вектор $\vec{c} - \vec{b}$. Рассмотрим диагональ $\overrightarrow{A_1C}$. По правилу сложения векторов (правило многоугольника): $\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Выразим векторы в правой части через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Мы знаем, что $\overrightarrow{A_1A} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$, $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{c}$. Подставим эти выражения: $\overrightarrow{A_1C} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} + \vec{c} = \vec{c} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{c} - \vec{b} = \overrightarrow{A_1C}$.

д) Найдем вектор $\vec{c} - \vec{a}$. Этот вектор является противоположным вектору, найденному в пункте б): $\vec{c} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{c}) = -\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}$.
Ответ: $\vec{c} - \vec{a} = \overrightarrow{AC}$.

568. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что:

а) Докажите, что: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Для доказательства этого равенства воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, отложенных от одной точки (в данном случае, от точки $O$), есть вектор, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Применим это правило к левой части равенства:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$

Аналогично, применим это правило к правой части равенства:

$\vec{OC} - \vec{OD} = \vec{DC}$

Таким образом, исходное равенство $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$ эквивалентно равенству векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны (они сонаправлены и их длины равны). Следовательно, равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ является истинным, а значит, истинно и исходное равенство.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что: $\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{DA}$

Для доказательства этого равенства можно использовать как прямое доказательство, так и результат, полученный в пункте а). Воспользуемся вторым, более изящным способом.

Из пункта а) мы знаем, что верно равенство:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Используя правила векторной алгебры, перегруппируем члены этого равенства. Перенесем вектор $\vec{OC}$ в левую часть, а вектор $\vec{OA}$ — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{OA} - \vec{OD}$

Теперь рассмотрим правую часть полученного равенства: $\vec{OA} - \vec{OD}$. По правилу вычитания векторов, эта разность равна вектору $\vec{DA}$:

$\vec{OA} - \vec{OD} = \vec{DA}$

Подставляя это в наше преобразованное равенство, получаем:

$\vec{OB} - \vec{OC} = \vec{DA}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Доказано.

569. На рисунке 157 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Представьте векторы AB₁ и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.

Для представления вектора в виде разности двух других векторов, выходящих из одной точки, используется правило: для любых трех точек O, P и Q справедливо равенство $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$. В качестве точки O (полюса) можно выбрать любую из вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

$\vec{AB_1}$
Вектор $\vec{AB_1}$ имеет начало в точке A и конец в точке B?. Выберем в качестве общего начала для искомых векторов, например, вершину D. Применяя правило разности векторов, получаем:
$\vec{AB_1} = \vec{DB_1} - \vec{DA}$.
Начала и концы векторов ($\vec{DB_1}$ и $\vec{DA}$) являются вершинами параллелепипеда, что удовлетворяет условию задачи. Существуют и другие решения, например, при выборе в качестве общего начала точки C: $\vec{AB_1} = \vec{CB_1} - \vec{CA}$.
Ответ: $\vec{AB_1} = \vec{DB_1} - \vec{DA}$.

$\vec{DK}$
Точка K не определена в условии и отсутствует на стандартном рисунке к этой задаче. Вероятно, в условии допущена опечатка. В подобных задачах часто рассматриваются векторы, соединяющие диагонально противоположные вершины граней, например, вектор $\vec{D_1C}$. Решим задачу для вектора $\vec{D_1C}$.
Вектор $\vec{D_1C}$ имеет начало в точке D? и конец в точке C. Выберем в качестве общего начала вершину D. По правилу разности векторов получаем:
$\vec{D_1C} = \vec{DC} - \vec{DD_1}$.
Все точки, задействованные в этом равенстве (D, C, D?), являются вершинами параллелепипеда.
Ответ: Если предположить, что в условии имелся в виду вектор $\vec{D_1C}$, то одним из возможных представлений является $\vec{D_1C} = \vec{DC} - \vec{DD_1}$.

570. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:

а) Для нахождения результирующего вектора упростим данное выражение, используя свойства сложения векторов.

Исходное выражение: $(\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{DC}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$

1. Раскроем скобки, так как сложение векторов ассоциативно:
$ \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{DC} + \vec{BC} + \vec{CD} $

2. Перегруппируем векторы, используя коммутативный закон сложения, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
$ (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + \vec{CA} $

3. Выполним сложение в скобках:
Сумма $\vec{AB} + \vec{BC}$ по правилу треугольника равна $\vec{AC}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.

4. Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$ \vec{AC} + \vec{0} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} $

5. Сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ также равна нулевому вектору, так как они противоположны:
$ \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0} $

Нулевой вектор можно представить как вектор, у которого начало и конец совпадают. Это может быть любой из векторов $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$ или $\vec{DD}$.

Ответ: $\vec{AA}$ (или $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, $\vec{DD}$).

б) Для нахождения результирующего вектора упростим данное выражение.

Исходное выражение: $(\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{DC}$

1. Сначала рассмотрим разность векторов в скобках. Разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, имеющих общее начало в точке A, равна вектору $\vec{CB}$, который соединяет конец второго вектора (C) с концом первого (B):
$ \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \vec{CB} + \vec{DC} $

3. Используем коммутативный (переместительный) закон сложения векторов, чтобы поменять слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:
$ \vec{DC} + \vec{CB} $

4. Теперь применим правило треугольника (правило Шаля). Конец первого вектора ($\vec{DC}$) совпадает с началом второго вектора ($\vec{CB}$), поэтому их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (D) с концом второго (B):
$ \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB} $

Таким образом, сумма векторов равна вектору $\vec{DB}$.

Ответ: $\vec{DB}$.