Страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

604. В тетраэдре ABCD медиана АА₁ грани ABC делится точкой K так, что АK : KA₁ = 3 : 7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

Для решения задачи выберем точку D в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ будут радиус-векторами точек A, B и C соответственно. Нам необходимо разложить вектор $\vec{DK}$ по этим трем базисным векторам.

Для нахождения вектора $\vec{DK}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Пройдем из точки D в точку K через точку A:

$\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK}$

Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AK}$ через базисные векторы. По условию, точка K делит медиану $AA_1$ в отношении $AK:KA_1 = 3:7$. Это означает, что длина отрезка AK составляет $\frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ от длины всей медианы $AA_1$. Так как векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлены, можем записать:

$\vec{AK} = \frac{3}{10}\vec{AA_1}$

Далее выразим вектор $\vec{AA_1}$ через векторы с началом в точке D:

$\vec{AA_1} = \vec{DA_1} - \vec{DA}$

Поскольку $AA_1$ является медианой грани ABC, точка $A_1$ — это середина отрезка BC. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, для вектора $\vec{DA_1}$ справедливо равенство:

$\vec{DA_1} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC})$

Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) - \vec{DA}$

Подставим полученное выражение для $\vec{AA_1}$ в формулу для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{3}{10}\vec{AA_1} = \frac{3}{10} \left( -\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC} \right) = -\frac{3}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

Наконец, подставим найденный вектор $\vec{AK}$ в исходную формулу для $\vec{DK}$:

$\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DA} + \left( -\frac{3}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC} \right)$

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых базисных векторах:

$\vec{DK} = \left(1 - \frac{3}{10}\right)\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

$\vec{DK} = \frac{7}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

Это и есть искомое разложение вектора $\vec{DK}$ по векторам $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{DK} = \frac{7}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

605. Точки М и N являются серединами рёбер AB и А₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите, если это возможно, по векторам AB и AD вектор:

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. Разложение по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ возможно только для тех векторов, которые компланарны плоскости основания ABCD, то есть для векторов, которые можно представить в виде $k\vec{AB} + l\vec{AD}$ (их составляющая по вектору $\vec{AA_1}$ равна нулю).

По условию задачи, точка M — середина ребра AB, следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Точка N — середина ребра A?D?, следовательно, $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Так как в параллелепипеде $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, то $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Рассмотрим каждый вектор по отдельности.

а) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания ABCD. По правилу параллелограмма для сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. В параллелепипеде $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Данный вектор лежит в плоскости основания, поэтому разложение возможно.

Ответ: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

б) $\vec{CM}$

Выразим вектор $\vec{CM}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{CM} = \vec{AM} - \vec{AC}$. Из пункта (а) мы знаем, что $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, а по условию $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Подставим эти выражения: $\vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AD}$. Точки C и M лежат в плоскости основания ABCD, значит и вектор $\vec{CM}$ лежит в этой плоскости. Разложение возможно.

Ответ: $\vec{CM} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AD}$.

в) $\vec{C_1N}$

Выразим вектор $\vec{C_1N}$ через векторы, выходящие из вершины $A_1$, которая находится в одной плоскости с точками $C_1$ и $N$. $\vec{C_1N} = \vec{A_1N} - \vec{A_1C_1}$. По условию, $N$ — середина $A_1D_1$, поэтому $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Вектор $\vec{A_1C_1}$ является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$. Тогда $\vec{C_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1} - (\vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}) = -\vec{A_1B_1} - \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Поскольку в параллелепипеде $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$ и $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, получаем: $\vec{C_1N} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$. Вектор лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, параллельной плоскости $ABCD$, поэтому разложение возможно.

Ответ: $\vec{C_1N} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

г) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. По правилу параллелепипеда: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Этот вектор не компланарен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, так как имеет ненулевую составляющую $\vec{AA_1}$, которая не лежит в плоскости основания ABCD. Следовательно, разложить вектор $\vec{AC_1}$ только по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ невозможно.

Ответ: Разложение невозможно.

д) $\vec{A_1N}$

Точка N — середина ребра $A_1D_1$. Следовательно, вектор $\vec{A_1N}$ можно выразить как $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Это и есть искомое разложение (коэффициент при $\vec{AB}$ равен 0). Вектор $\vec{A_1N}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ и, следовательно, его можно разложить по базису $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

е) $\vec{AN}$

Выразим вектор $\vec{AN}$, двигаясь из точки A в точку N через вершину $A_1$. $\vec{AN} = \vec{AA_1} + \vec{A_1N}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{A_1N} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Тогда $\vec{AN} = \vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AD}$. Этот вектор имеет ненулевую составляющую $\vec{AA_1}$, которая не компланарна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Следовательно, разложить вектор $\vec{AN}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ невозможно.

Ответ: Разложение невозможно.

ж) $\vec{MD}$

Выразим вектор $\vec{MD}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$. По условию, M — середина ребра AB, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Подставляя, получаем: $\vec{MD} = \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB}$. Точки M и D лежат в плоскости основания ABCD, значит и вектор $\vec{MD}$ лежит в этой плоскости. Разложение возможно.

Ответ: $\vec{MD} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$.

606. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор OA по векторам OB, OC, OM.

По условию задачи, точка M является точкой пересечения медиан грани ABC. Точка пересечения медиан треугольника является его центром масс (центроидом).

Для любой точки O в пространстве и любого треугольника ABC радиус-вектор его центроида M связан с радиус-векторами вершин A, B и C следующим соотношением:

$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

Цель задачи — выразить (разложить) вектор $\vec{OA}$ через векторы $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OM}$. Для этого необходимо преобразовать данное векторное равенство так, чтобы выделить $\vec{OA}$.

1. Умножим обе части равенства на 3:

$3\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

2. Выразим вектор $\vec{OA}$, перенеся векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ в левую часть уравнения с противоположными знаками:

$\vec{OA} = 3\vec{OM} - \vec{OB} - \vec{OC}$

Таким образом, мы получили искомое разложение вектора $\vec{OA}$.

Ответ: $\vec{OA} = 3\vec{OM} - \vec{OB} - \vec{OC}$

607. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке K. Разложите по векторам a = DA, b = DB и c = DC вектор:

Поскольку $ABCD$ — правильный тетраэдр, все его грани являются правильными треугольниками, а все ребра равны. Высоты правильного тетраэдра пересекаются в одной точке $K$, которая является центром описанной и вписанной сфер, а также центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины.

Выберем точку $D$ в качестве начала векторов. Тогда по условию имеем базисные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$.

а) $\vec{DN}$

Высота $DN$ опущена из вершины $D$ на грань $ABC$. В правильном тетраэдре основание высоты совпадает с центром тяжести (центроидом) грани. Таким образом, точка $N$ является центроидом треугольника $ABC$.

Положение центроида треугольника определяется как среднее арифметическое векторов его вершин. Вектор $\vec{DN}$ — это радиус-вектор точки $N$ из начала координат $D$.

$\vec{DN} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3}$

Подставляя данные из условия, получаем:

$\vec{DN} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Ответ: $\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

б) $\vec{DK}$

Точка $K$ — это точка пересечения высот, то есть центроид тетраэдра $ABCD$. Вектор положения центроида тетраэдра равен среднему арифметическому векторов его вершин.

$\vec{DK} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} + \vec{DD}}{4}$

Так как $\vec{DD} = \vec{0}$, получаем:

$\vec{DK} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Можно прийти к этому же результату, зная, что точка $K$ делит высоту $DN$ в отношении $DK:KN = 3:1$. Следовательно, $\vec{DK} = \frac{3}{4}\vec{DN}$. Используя результат из пункта а):

$\vec{DK} = \frac{3}{4} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Ответ: $\vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

в) $\vec{AM}$

Высота $AM$ опущена из вершины $A$ на грань $BCD$. Точка $M$ является центроидом треугольника $BCD$.

Чтобы найти вектор $\vec{AM}$, представим его в виде разности векторов, исходящих из общего начала $D$:

$\vec{AM} = \vec{DM} - \vec{DA}$

Мы знаем, что $\vec{DA} = \vec{a}$. Найдем вектор $\vec{DM}$. Так как $M$ — центроид треугольника $BCD$:

$\vec{DM} = \frac{\vec{DB} + \vec{DC} + \vec{DD}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$

Теперь подставим найденные векторы в выражение для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = -\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

г) $\vec{MK}$

Чтобы найти вектор $\vec{MK}$, представим его как разность векторов $\vec{DK}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{MK} = \vec{DK} - \vec{DM}$

Из предыдущих пунктов нам известны разложения векторов $\vec{DK}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{DK} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{DM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

Подставляем и упрощаем:

$\vec{MK} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\vec{b} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \left(\frac{3-4}{12}\right)\vec{b} + \left(\frac{3-4}{12}\right)\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$

Альтернативный способ: точка $K$ делит высоту $AM$ в отношении $AK:KM = 3:1$. Это значит, что $\vec{MK} = -\vec{KM} = -\frac{1}{4}\vec{AM}$. Используя результат из пункта в):

$\vec{MK} = -\frac{1}{4}\left(-\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$

608. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин рёбер с общей вершиной А.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину A тетраэдра ABCD. Тогда положение вершин B, C и D будет задаваться радиус-векторами $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ соответственно.

Точка O является точкой пересечения медиан грани BCD. Такая точка называется центроидом треугольника. По свойству центроида, его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. В нашей системе координат радиус-вектор точки O, то есть вектор $\vec{AO}$, выражается как:

$\vec{AO} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$

Длина отрезка AO равна модулю (длине) вектора $\vec{AO}$:

$AO = |\vec{AO}| = |\frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}| = \frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}|$

Нам нужно доказать неравенство:

$AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD)$

Длины рёбер AB, AC и AD — это модули соответствующих векторов: $AB = |\vec{AB}|$, $AC = |\vec{AC}|$, $AD = |\vec{AD}|$. Подставим выражения для длин в доказываемое неравенство:

$\frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < \frac{1}{3}(|\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|)$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы его упростить:

$|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|$

Это неравенство является обобщенным неравенством треугольника для векторов, которое гласит, что модуль суммы векторов не превосходит суммы их модулей. В общем виде: $|\sum \vec{v_i}| \le \sum |\vec{v_i}|$.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или параллельных прямых) и сонаправлены.

В нашем случае, если бы векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ были коллинеарны, то точки A, B, C и D лежали бы на одной прямой. Однако ABCD — это тетраэдр, вершины которого по определению не лежат в одной плоскости, а значит, и не могут лежать на одной прямой.

Поскольку векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны, для них выполняется строгое неравенство:

$|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|$

Разделив обе части этого верного неравенства на 3, мы получаем:

$\frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < \frac{1}{3}(|\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|)$

Возвращаясь к обозначениям длин отрезков, имеем:

$AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD)$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка AO меньше одной трети суммы длин рёбер с общей вершиной A.

Ответ: Что и требовалось доказать.

609. Докажите, что диагональ АС₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 171).

Решение

Обозначим через M₁ точку пересечения медиан треугольника А₁ВD. Применив формулу (5) к тетраэдру AA₁BD, получим AM₁ = $\frac{1}{3}$(AA₁ + AB + AD). По правилу параллелепипеда AA₁ + AB + AD = AC₁, поэтому AM₁ = $\frac{1}{3}$AC₁. Отсюда следует, что точка M₁ принадлежит диагонали АС₁ и AM₁ = $\frac{1}{3}$ AC₁. 

Точно так же можно доказать, что точка М₂ пересечения медиан треугольника CB₁D₁ принадлежит диагонали AC₁ и C₁M₂ = $\frac{1}{3}$ AC₁. Из равенств AM₁ = $\frac{1}{3}$AC₁ и C₁M₂ = $\frac{1}{3}$AC₁ следует, что точки М₁ и М₂ делят диагональ АС₁ параллелепипеда на три равных отрезка AM₁, M₁M₂ и M₂C₁.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем векторный базис с началом в вершине $A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим некомпланарные векторы, выходящие из этой вершины вдоль ребер: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

В этом базисе вектор, соответствующий главной диагонали $AC_1$, выражается как сумма трех базисных векторов. По правилу параллелепипеда (или последовательно по правилу треугольника $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$), получаем:

$\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Пусть $M_1$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $A_1BD$. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин. Выразим радиус-вектор точки $M_1$ относительно нашего начала отсчета, точки $A$. Вершины треугольника $A_1BD$ имеют радиус-векторы $\vec{AA_1}=\vec{c}$, $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AD}=\vec{b}$.

$\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Сравнивая полученное выражение с вектором диагонали $\vec{AC_1}$, мы видим, что $\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$. Из этого векторного равенства следует, что векторы $\vec{AM_1}$ и $\vec{AC_1}$ коллинеарны. Так как они отложены от одной и той же точки $A$, то точки $A$, $M_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $M_1$ принадлежит диагонали $AC_1$. Кроме того, из этого же равенства следует, что длина отрезка $AM_1$ составляет одну треть длины диагонали $AC_1$: $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

Теперь рассмотрим точку $M_2$ — точку пересечения медиан треугольника $CB_1D_1$. Аналогично найдем ее радиус-вектор $\vec{AM_2}$ относительно вершины $A$. Для этого сначала выразим радиус-векторы вершин $C$, $B_1$ и $D_1$ через базисные векторы:

• $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь можем найти радиус-вектор центроида $M_2$:

$\vec{AM_2} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1}) = \frac{1}{3}((\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Отсюда получаем, что $\vec{AM_2} = \frac{2}{3}\vec{AC_1}$. Это равенство доказывает, что точка $M_2$ также лежит на прямой $AC_1$. Кроме того, $AM_2 = \frac{2}{3}AC_1$.

Итак, мы доказали, что обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на диагонали $AC_1$. Найдем длины отрезков, на которые эти точки делят диагональ. Поскольку $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$ и $AM_2 = \frac{2}{3}AC_1$, точки на диагонали расположены в следующем порядке: $A, M_1, M_2, C_1$.

1. Длина первого отрезка: $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

2. Длина второго отрезка: $M_1M_2 = AM_2 - AM_1 = \frac{2}{3}AC_1 - \frac{1}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

3. Длина третьего отрезка: $M_2C_1 = AC_1 - AM_2 = AC_1 - \frac{2}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

Таким образом, мы получили, что $AM_1 = M_1M_2 = M_2C_1$. Это означает, что точки $M_1$ и $M_2$ делят диагональ $AC_1$ на три равные части, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.