Страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

630. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра СС₁. Разложите вектор: а) AK по векторам AB, AD, AA₁; б) DA₁ по векторам AB₁, BC₁ и CD₁.

а) Разложение вектора $\vec{AK}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Чтобы разложить вектор $\vec{AK}$, представим его как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $K$. Воспользуемся правилом многоугольника (или правилом замыкания ломаной), выбрав путь через вершины параллелепипеда, например, $A \rightarrow C \rightarrow K$.

Тогда вектор $\vec{AK}$ можно представить в виде суммы:

$\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK}$

Теперь выразим каждый вектор в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу сложения векторов в параллелограмме (правило параллелограмма):

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ составляет половину вектора $\vec{CC_1}$ и сонаправлен с ним:

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$

В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, им соответствующие, равны: $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно:

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

3. Подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CK}$ в исходное равенство для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

б) Разложение вектора $\vec{DA_1}$ по векторам $\vec{AB_1}$, $\vec{BC_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Эта задача требует разложения по небазисным векторам. Удобнее всего сначала выразить и искомый вектор, и векторы разложения через один и тот же стандартный базис, например, $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

1. Выразим искомый вектор $\vec{DA_1}$ через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$

Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, получаем:

$\vec{DA_1} = -\vec{b} + \vec{c}$

2. Теперь выразим векторы $\vec{AB_1}$, $\vec{BC_1}$ и $\vec{CD_1}$ через тот же базис:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$ (так как $\vec{BC}=\vec{AD}$ и $\vec{CC_1}=\vec{AA_1}$)

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{a} + \vec{c}$ (так как $\vec{CD}=-\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}=\vec{AA_1}$)

3. Нам нужно найти такие коэффициенты $x, y, z$, что:

$\vec{DA_1} = x \cdot \vec{AB_1} + y \cdot \vec{BC_1} + z \cdot \vec{CD_1}$

Подставим в это равенство выражения векторов через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$-\vec{b} + \vec{c} = x(\vec{a} + \vec{c}) + y(\vec{b} + \vec{c}) + z(-\vec{a} + \vec{c})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при базисных векторах:

$0 \cdot \vec{a} - 1 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (x\vec{a} - z\vec{a}) + y\vec{b} + (x\vec{c} + y\vec{c} + z\vec{c})$

$0 \cdot \vec{a} - 1 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (x-z)\vec{a} + y\vec{b} + (x+y+z)\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ линейно независимы (некомпланарны), равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих координат (коэффициентов). Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x-z = 0 \\ y = -1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x=z$. Второй коэффициент уже известен: $y=-1$. Подставим эти значения в третье уравнение:

$x + (-1) + x = 1$

$2x - 1 = 1$

$2x = 2$

$x = 1$

Так как $x=z$, то $z=1$.

Итак, мы нашли коэффициенты разложения: $x=1, y=-1, z=1$.

Подставляем их в искомое разложение:

$\vec{DA_1} = 1 \cdot \vec{AB_1} - 1 \cdot \vec{BC_1} + 1 \cdot \vec{CD_1} = \vec{AB_1} - \vec{BC_1} + \vec{CD_1}$

Ответ: $\vec{DA_1} = \vec{AB_1} - \vec{BC_1} + \vec{CD_1}$.

631. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани DCC₁D₁ пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA₁.

Для того чтобы разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим вектор $\vec{AM}$ в виде суммы векторов, исходящих из вершины $A$. Воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов, выбрав путь из точки $A$ в точку $M$ через другие вершины параллелепипеда. Один из возможных путей: $A \rightarrow D \rightarrow M$.

Тогда вектор $\vec{AM}$ можно записать как сумму векторов: $\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$

По условию, точка $M$ — это точка пересечения диагоналей грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ является параллелограммом, а диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $DC_1$.

Из этого следует, что вектор $\vec{DM}$ составляет половину вектора $\vec{DC_1}$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DC_1}$

Теперь разложим вектор $\vec{DC_1}$ по правилу треугольника, используя векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда: $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Подставим это разложение в выражение для $\vec{DM}$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CC_1})$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CC_1})$

Нам нужно выразить все векторы через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Поэтому:

• $\vec{DC} = \vec{AB}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм)
• $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$ (так как $AA_1C_1C$ — параллелограмм)

Произведем замену в выражении для $\vec{AM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки и запишем слагаемые в стандартном порядке: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

632. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают, то прямые AA₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета. Положение любой точки $X$ в пространстве можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следующим образом: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OA_1} = \vec{a_1}$, $\vec{OB_1} = \vec{b_1}$, $\vec{OC_1} = \vec{c_1}$.

Известно, что радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, а $M_1$ — точка пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Их радиус-векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM_1}$ соответственно равны:

$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Согласно условию задачи, точки пересечения медиан совпадают, то есть $M = M_1$. Следовательно, их радиус-векторы также равны: $\vec{OM} = \vec{OM_1}$. Приравнивая соответствующие выражения, получаем:

$\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Умножим обе части равенства на 3 и преобразуем его, сгруппировав векторы:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}$

$(\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{c_1} - \vec{c}) = \vec{0}$

Каждое из выражений в скобках представляет собой вектор, соединяющий соответствующие вершины треугольников: $\vec{AA_1} = \vec{a_1} - \vec{a}$, $\vec{BB_1} = \vec{b_1} - \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c}$. Подставив их в предыдущее равенство, получим:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$

Полученное равенство означает, что сумма векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ равна нулевому вектору. Это является необходимым и достаточным условием компланарности этих трех векторов. Векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ являются направляющими векторами для прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Так как направляющие векторы этих прямых компланарны, то и сами прямые параллельны некоторой плоскости $\pi$, которая параллельна плоскости, определяемой этими векторами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

633. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = AB, c = AC и d = AD следующие векторы: BC, CD, DB и DM.

В данной задаче нам даны три вектора, выходящие из одной вершины тетраэдра A: $ \vec{b} = \vec{AB} $, $ \vec{c} = \vec{AC} $ и $ \vec{d} = \vec{AD} $. Нам нужно выразить через них другие векторы тетраэдра. Для этого будем использовать правило треугольника (или правило разности векторов) и свойство медианы.

$\vec{BC}$

Чтобы выразить вектор $ \vec{BC} $, воспользуемся правилом разности векторов. Если два вектора ($ \vec{AB} $ и $ \vec{AC} $) выходят из одной точки (A), то вектор, соединяющий их концы (из B в C), равен разности вектора, идущего в конечную точку ($ \vec{AC} $), и вектора, идущего в начальную точку ($ \vec{AB} $). Таким образом, $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $. Подставим известные обозначения: $ \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} $.

Ответ: $ \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} $

$\vec{CD}$

Аналогично, для векторов $ \vec{AC} $ и $ \vec{AD} $, выходящих из точки A, вектор $ \vec{CD} $ выражается как разность: $ \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} $. Подставим заданные векторы: $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $.

Ответ: $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $

$\vec{DB}$

Векторы $ \vec{AD} $ и $ \vec{AB} $ выходят из точки A. Вектор $ \vec{DB} $ соединяет их концы (из D в B). Следовательно, $ \vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} $. Подставим заданные векторы: $ \vec{DB} = \vec{b} - \vec{d} $.

Ответ: $ \vec{DB} = \vec{b} - \vec{d} $

$\vec{DM}$

Точка M является серединой ребра BC. Чтобы найти вектор $ \vec{DM} $, можно представить его как сумму векторов, например, по пути $ D \to A \to M $: $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} $. Мы знаем, что $ \vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{d} $. Вектор $ \vec{AM} $ является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A. Вектор медианы равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и идущих к концам стороны, которую медиана делит пополам. Следовательно, $ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) $. Подставляя заданные векторы, получаем: $ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) $. Теперь соберем все вместе для $ \vec{DM} $: $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} = -\vec{d} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d} $.

Ответ: $ \vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d} $

634. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и ВDС. Докажите, что MN || AC, и найдите отношение длин этих отрезков.

Докажите, что $MN \parallel AC$

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию, точка $M$ является точкой пересечения медиан грани $ADB$, а точка $N$ — точкой пересечения медиан грани $BDC$. Точка пересечения медиан треугольника также называется его центроидом.

Проведем медианы из общей вершины $B$ в треугольниках $ADB$ и $BDC$. Пусть $K$ — середина ребра $AD$, а $L$ — середина ребра $DC$. Тогда $BK$ является медианой треугольника $ADB$, а $BL$ — медианой треугольника $BDC$.

Точка $M$ лежит на медиане $BK$, а точка $N$ — на медиане $BL$. По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, мы имеем следующие отношения:$BM : MK = 2 : 1 \implies \frac{BM}{BK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$BN : NL = 2 : 1 \implies \frac{BN}{BL} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $KBL$. В этом треугольнике точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $BK$ и $BL$ соответственно. Поскольку $\frac{BM}{BK} = \frac{BN}{BL} = \frac{2}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках), отрезок $MN$ параллелен стороне $KL$, то есть $MN \parallel KL$.

Далее рассмотрим грань $ADC$. В треугольнике $ADC$ точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AD$ и $DC$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, то есть $KL \parallel AC$.

Таким образом, мы установили, что $MN \parallel KL$ и $KL \parallel AC$. Согласно свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые по отдельности параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), из этого следует, что $MN \parallel AC$.Ответ: доказано.

Найдите отношение длин этих отрезков

Как было показано выше, в треугольнике $KBL$ отрезок $MN$ параллелен стороне $KL$. Это означает, что треугольник $MBN$ подобен треугольнику $KBL$ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, $\angle KBL$ — общий). Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон:$k = \frac{BM}{BK} = \frac{BN}{BL} = \frac{2}{3}$

Из подобия треугольников следует, что отношение длин их третьих сторон также равно коэффициенту подобия:$\frac{MN}{KL} = k = \frac{2}{3}$

Из свойства средней линии $KL$ в треугольнике $ADC$ мы знаем, что ее длина равна половине длины основания:$KL = \frac{1}{2}AC$

Теперь подставим это выражение в полученное ранее отношение длин:$\frac{MN}{\frac{1}{2}AC} = \frac{2}{3}$

Выразим длину $MN$ через $AC$:$MN = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}AC\right) = \frac{2}{6}AC = \frac{1}{3}AC$

Следовательно, отношение длин отрезков $MN$ и $AC$ равно:$\frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}$Ответ: отношение длин отрезков $MN$ и $AC$ равно $1:3$.

635. Треугольники ABC, A₁B₁C₁ и А₂В₂С₂ расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А₁А₂, B₁B₂, С₁С₂ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, A₁B₁C₁ и А₂В₂С₂ лежат на одной прямой.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть O — произвольная точка в пространстве, которую мы примем за начало координат. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ для треугольника $ABC$; $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ для треугольника $A_1B_1C_1$; и $\vec{a_2}, \vec{b_2}, \vec{c_2}$ для треугольника $A_2B_2C_2$.

Точка пересечения медиан треугольника, также известная как центроид, имеет радиус-вектор, который равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Пусть M, M?, M? — точки пересечения медиан (центроиды) треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ соответственно. Их радиус-векторы $\vec{m}$, $\vec{m_1}$, $\vec{m_2}$ определяются следующими формулами:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\vec{m_1} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3}$

$\vec{m_2} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3}$

Согласно условию задачи, точки A, B, C являются серединами отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ соответственно. Это можно выразить в векторной форме. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов:

$\vec{a} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{a} = \vec{a_1} + \vec{a_2}$

$\vec{b} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$

$\vec{c} = \frac{\vec{c_1} + \vec{c_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{c} = \vec{c_1} + \vec{c_2}$

Теперь установим связь между радиус-векторами центроидов M, M? и M?. Для этого сложим радиус-векторы $\vec{m_1}$ и $\vec{m_2}$:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3} + \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3} = \frac{(\vec{a_1} + \vec{a_2}) + (\vec{b_1} + \vec{b_2}) + (\vec{c_1} + \vec{c_2})}{3}$

Используем выведенные ранее соотношения для сумм векторов:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{3} = 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right)$

Так как выражение в скобках равно $\vec{m}$, получаем:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = 2\vec{m}$

Разделим обе части этого равенства на 2:

$\vec{m} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2}}{2}$

Полученное равенство по определению означает, что точка M является серединой отрезка, соединяющего точки M? и M?. Три точки — начало отрезка, его середина и конец отрезка — всегда лежат на одной прямой.

Следовательно, точки M, M? и M? лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения медиан треугольника $ABC$ является серединой отрезка, соединяющего точки пересечения медиан треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, а значит все три точки лежат на одной прямой.

636. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Пусть дан тетраэдр $SABC$, где $\triangle ABC$ — основание, а $S$ — вершина, не лежащая в плоскости основания. Боковыми гранями тетраэдра являются треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и $\triangle SCA$.

Обозначим вершины искомого треугольника как $M_1$, $M_2$ и $M_3$. По условию, эти точки являются точками пересечения медиан (центроидами) боковых граней:

• $M_1$ — центроид грани $\triangle SAB$
• $M_2$ — центроид грани $\triangle SBC$
• $M_3$ — центроид грани $\triangle SCA$

Нам необходимо доказать, что $\triangle M_1M_2M_3$ подобен основанию тетраэдра, то есть $\triangle ABC$.

Для доказательства воспользуемся свойством центроида и понятием средней линии треугольника.

Проведем в каждой боковой грани медианы из общей вершины $S$. Пусть $SK$, $SL$ и $SN$ — медианы в треугольниках $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и $\triangle SCA$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $N$ являются серединами сторон основания $AB$, $BC$ и $CA$.

Известно, что центроид треугольника делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точки $M_1$, $M_2$ и $M_3$ лежат на отрезках $SK$, $SL$ и $SN$ так, что:
$SM_1 = \frac{2}{3}SK$
$SM_2 = \frac{2}{3}SL$
$SM_3 = \frac{2}{3}SN$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SKL$. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат на его сторонах $SK$ и $SL$. Так как отношение $\frac{SM_1}{SK} = \frac{SM_2}{SL} = \frac{2}{3}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по признаку подобия треугольников SAS, так как угол $\angle KSL$ общий) $\triangle SM_1M_2$ подобен $\triangle SKL$. Коэффициент подобия равен $\frac{2}{3}$. Из этого подобия следует, что $M_1M_2 = \frac{2}{3}KL$.

Применяя те же рассуждения к треугольникам $\triangle SLN$ и $\triangle SNK$, мы получим аналогичные соотношения для других сторон $\triangle M_1M_2M_3$:
$M_2M_3 = \frac{2}{3}LN$
$M_3M_1 = \frac{2}{3}NK$

Далее рассмотрим треугольник $\triangle KLN$, образованный серединами сторон основания $\triangle ABC$. Его стороны $KL$, $LN$ и $NK$ являются средними линиями $\triangle ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$KL = \frac{1}{2}AC$
$LN = \frac{1}{2}AB$
$NK = \frac{1}{2}BC$

Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника $\triangle M_1M_2M_3$ через длины сторон основания $\triangle ABC$:
$M_1M_2 = \frac{2}{3}KL = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}AC) = \frac{1}{3}AC$
$M_2M_3 = \frac{2}{3}LN = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{3}AB$
$M_3M_1 = \frac{2}{3}NK = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BC) = \frac{1}{3}BC$

Из полученных равенств следует, что стороны треугольника $\triangle M_1M_2M_3$ пропорциональны сторонам треугольника $\triangle ABC$ с одним и тем же коэффициентом пропорциональности $k = \frac{1}{3}$:
$\frac{M_2M_3}{AB} = \frac{M_3M_1}{BC} = \frac{M_1M_2}{AC} = \frac{1}{3}$

По третьему признаку подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам), если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle M_1M_2M_3$ подобен $\triangle CAB$ (обратите внимание на соответствие вершин), что равносильно подобию $\triangle ABC$.

Ответ: Треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$. Что и требовалось доказать.