Номер 635, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

635. Треугольники ABC, A₁B₁C₁ и А₂В₂С₂ расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А₁А₂, B₁B₂, С₁С₂ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, A₁B₁C₁ и А₂В₂С₂ лежат на одной прямой.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть O — произвольная точка в пространстве, которую мы примем за начало координат. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ для треугольника $ABC$; $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ для треугольника $A_1B_1C_1$; и $\vec{a_2}, \vec{b_2}, \vec{c_2}$ для треугольника $A_2B_2C_2$.

Точка пересечения медиан треугольника, также известная как центроид, имеет радиус-вектор, который равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Пусть M, M?, M? — точки пересечения медиан (центроиды) треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ соответственно. Их радиус-векторы $\vec{m}$, $\vec{m_1}$, $\vec{m_2}$ определяются следующими формулами:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\vec{m_1} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3}$

$\vec{m_2} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3}$

Согласно условию задачи, точки A, B, C являются серединами отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ соответственно. Это можно выразить в векторной форме. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов:

$\vec{a} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{a} = \vec{a_1} + \vec{a_2}$

$\vec{b} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$

$\vec{c} = \frac{\vec{c_1} + \vec{c_2}}{2}$, что эквивалентно $2\vec{c} = \vec{c_1} + \vec{c_2}$

Теперь установим связь между радиус-векторами центроидов M, M? и M?. Для этого сложим радиус-векторы $\vec{m_1}$ и $\vec{m_2}$:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3} + \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3} = \frac{(\vec{a_1} + \vec{a_2}) + (\vec{b_1} + \vec{b_2}) + (\vec{c_1} + \vec{c_2})}{3}$

Используем выведенные ранее соотношения для сумм векторов:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{3} = 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right)$

Так как выражение в скобках равно $\vec{m}$, получаем:

$\vec{m_1} + \vec{m_2} = 2\vec{m}$

Разделим обе части этого равенства на 2:

$\vec{m} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2}}{2}$

Полученное равенство по определению означает, что точка M является серединой отрезка, соединяющего точки M? и M?. Три точки — начало отрезка, его середина и конец отрезка — всегда лежат на одной прямой.

Следовательно, точки M, M? и M? лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения медиан треугольника $ABC$ является серединой отрезка, соединяющего точки пересечения медиан треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, а значит все три точки лежат на одной прямой.