Номер 636, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

636. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Пусть дан тетраэдр $SABC$, где $\triangle ABC$ — основание, а $S$ — вершина, не лежащая в плоскости основания. Боковыми гранями тетраэдра являются треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и $\triangle SCA$.

Обозначим вершины искомого треугольника как $M_1$, $M_2$ и $M_3$. По условию, эти точки являются точками пересечения медиан (центроидами) боковых граней:

• $M_1$ — центроид грани $\triangle SAB$
• $M_2$ — центроид грани $\triangle SBC$
• $M_3$ — центроид грани $\triangle SCA$

Нам необходимо доказать, что $\triangle M_1M_2M_3$ подобен основанию тетраэдра, то есть $\triangle ABC$.

Для доказательства воспользуемся свойством центроида и понятием средней линии треугольника.

Проведем в каждой боковой грани медианы из общей вершины $S$. Пусть $SK$, $SL$ и $SN$ — медианы в треугольниках $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и $\triangle SCA$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $N$ являются серединами сторон основания $AB$, $BC$ и $CA$.

Известно, что центроид треугольника делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точки $M_1$, $M_2$ и $M_3$ лежат на отрезках $SK$, $SL$ и $SN$ так, что:
$SM_1 = \frac{2}{3}SK$
$SM_2 = \frac{2}{3}SL$
$SM_3 = \frac{2}{3}SN$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SKL$. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат на его сторонах $SK$ и $SL$. Так как отношение $\frac{SM_1}{SK} = \frac{SM_2}{SL} = \frac{2}{3}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по признаку подобия треугольников SAS, так как угол $\angle KSL$ общий) $\triangle SM_1M_2$ подобен $\triangle SKL$. Коэффициент подобия равен $\frac{2}{3}$. Из этого подобия следует, что $M_1M_2 = \frac{2}{3}KL$.

Применяя те же рассуждения к треугольникам $\triangle SLN$ и $\triangle SNK$, мы получим аналогичные соотношения для других сторон $\triangle M_1M_2M_3$:
$M_2M_3 = \frac{2}{3}LN$
$M_3M_1 = \frac{2}{3}NK$

Далее рассмотрим треугольник $\triangle KLN$, образованный серединами сторон основания $\triangle ABC$. Его стороны $KL$, $LN$ и $NK$ являются средними линиями $\triangle ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$KL = \frac{1}{2}AC$
$LN = \frac{1}{2}AB$
$NK = \frac{1}{2}BC$

Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника $\triangle M_1M_2M_3$ через длины сторон основания $\triangle ABC$:
$M_1M_2 = \frac{2}{3}KL = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}AC) = \frac{1}{3}AC$
$M_2M_3 = \frac{2}{3}LN = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{3}AB$
$M_3M_1 = \frac{2}{3}NK = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BC) = \frac{1}{3}BC$

Из полученных равенств следует, что стороны треугольника $\triangle M_1M_2M_3$ пропорциональны сторонам треугольника $\triangle ABC$ с одним и тем же коэффициентом пропорциональности $k = \frac{1}{3}$:
$\frac{M_2M_3}{AB} = \frac{M_3M_1}{BC} = \frac{M_1M_2}{AC} = \frac{1}{3}$

По третьему признаку подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам), если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle M_1M_2M_3$ подобен $\triangle CAB$ (обратите внимание на соответствие вершин), что равносильно подобию $\triangle ABC$.

Ответ: Треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$. Что и требовалось доказать.