Номер 638, страница 166 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

638. Найдите координаты проекций точек

на: а) координатные плоскости Oxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.

Чтобы найти координаты проекции точки на одну из координатных плоскостей, необходимо приравнять к нулю координату, которая перпендикулярна этой плоскости. Для произвольной точки $P(x; y; z)$ проекции находятся следующим образом:

– Проекция на плоскость $Oxz$ (плоскость, где $y=0$) имеет координаты $(x; 0; z)$.
– Проекция на плоскость $Oxy$ (плоскость, где $z=0$) имеет координаты $(x; y; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$ (плоскость, где $x=0$) имеет координаты $(0; y; z)$.

Применим это правило для каждой из заданных точек:

Для точки $A(2; -3; 5)$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(2; 0; 5)$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(2; -3; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -3; 5)$.

Для точки $B(3; -5; \frac{1}{2})$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(3; 0; \frac{1}{2})$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(3; -5; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -5; \frac{1}{2})$.

Для точки $C(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(-\sqrt{3}; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Ответ:
Для точки A: проекция на $Oxz$ — $(2; 0; 5)$, на $Oxy$ — $(2; -3; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -3; 5)$.
Для точки B: проекция на $Oxz$ — $(3; 0; \frac{1}{2})$, на $Oxy$ — $(3; -5; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -5; \frac{1}{2})$.
Для точки C: проекция на $Oxz$ — $(-\sqrt{3}; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$, на $Oxy$ — $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Чтобы найти координаты проекции точки на одну из координатных осей, необходимо приравнять к нулю две координаты, не относящиеся к этой оси. Для произвольной точки $P(x; y; z)$ проекции находятся следующим образом:

– Проекция на ось $Ox$ имеет координаты $(x; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$ имеет координаты $(0; y; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$ имеет координаты $(0; 0; z)$.

Применим это правило для каждой из заданных точек:

Для точки $A(2; -3; 5)$:
– Проекция на ось $Ox$: $(2; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -3; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; 5)$.

Для точки $B(3; -5; \frac{1}{2})$:
– Проекция на ось $Ox$: $(3; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -5; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; \frac{1}{2})$.

Для точки $C(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$:
– Проекция на ось $Ox$: $(-\sqrt{3}; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Ответ:
Для точки A: проекция на $Ox$ — $(2; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -3; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; 5)$.
Для точки B: проекция на $Ox$ — $(3; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -5; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; \frac{1}{2})$.
Для точки C: проекция на $Ox$ — $(-\sqrt{3}; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.