Номер 642, страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

642. На рисунке 185 изображён прямоугольный параллелепипед, у которого ОА = 2, ОВ = 3, ОО₁ = 2. Найдите координаты векторов

в системе координат Oxyz.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат Oxyz, как показано на рисунке. Начало координат O(0, 0, 0) находится в одной из вершин параллелепипеда. Оси координат направлены вдоль его ребер: ось Ox вдоль ребра OA, ось Oy вдоль ребра OB, а ось Oz вдоль ребра OO?.

По условию задачи даны длины этих ребер: $OA=2$, $OB=3$, $OO_1=2$. Используя эту информацию, мы можем определить координаты всех вершин параллелепипеда:
O(0, 0, 0)
A(2, 0, 0) (точка на оси Ox)
B(0, 3, 0) (точка на оси Oy)
O?(0, 0, 2) (точка на оси Oz)
C: Вершина C получается смещением точки A на вектор $\vec{OB}$ (или точки B на вектор $\vec{OA}$), поэтому ее координаты $C(2, 3, 0)$.
A?: Вершина A? получается смещением точки A на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $A_1(2, 0, 2)$.
B?: Вершина B? получается смещением точки B на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $B_1(0, 3, 2)$.
C?: Вершина C? получается смещением точки C на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $C_1(2, 3, 2)$.

Теперь найдем координаты искомых векторов. Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M, y_M, z_M)$ и концом в точке $N(x_N, y_N, z_N)$ вычисляются по формуле $\vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)$.

$\vec{OA_1}$
Это радиус-вектор точки A?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки A?(2, 0, 2).
Ответ: $\vec{OA_1} = (2, 0, 2)$.

$\vec{OB_1}$
Это радиус-вектор точки B?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки B?(0, 3, 2).
Ответ: $\vec{OB_1} = (0, 3, 2)$.

$\vec{OO_1}$
Это радиус-вектор точки O?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки O?(0, 0, 2).
Ответ: $\vec{OO_1} = (0, 0, 2)$.

$\vec{OC}$
Это радиус-вектор точки C, поэтому его координаты совпадают с координатами точки C(2, 3, 0).
Ответ: $\vec{OC} = (2, 3, 0)$.

$\vec{OC_1}$
Это радиус-вектор точки C?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки C?(2, 3, 2).
Ответ: $\vec{OC_1} = (2, 3, 2)$.

$\vec{BC_1}$
Начало вектора — точка B(0, 3, 0), конец — точка C?(2, 3, 2).
$\vec{BC_1} = (2 - 0, 3 - 3, 2 - 0) = (2, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{BC_1} = (2, 0, 2)$.

$\vec{AC_1}$
Начало вектора — точка A(2, 0, 0), конец — точка C?(2, 3, 2).
$\vec{AC_1} = (2 - 2, 3 - 0, 2 - 0) = (0, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{AC_1} = (0, 3, 2)$.

$\vec{O_1C}$
Начало вектора — точка O?(0, 0, 2), конец — точка C(2, 3, 0).
$\vec{O_1C} = (2 - 0, 3 - 0, 0 - 2) = (2, 3, -2)$.
Ответ: $\vec{O_1C} = (2, 3, -2)$.