Номер 646, страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

646. Даны векторы

Найдите координаты векторов:

Для выполнения операций с векторами необходимо производить соответствующие арифметические действия над их координатами. Исходные данные векторов:

$\vec{a}\{5; -1; 1\}$

$\vec{b}\{-2; 1; 0\}$

$\vec{c}\{0; 0,2; 0\}$

$\vec{d}\{\frac{1}{3}; 2\frac{2}{5}; -\frac{1}{7}\}$

а) Чтобы найти координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, нужно из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.

$\vec{a} - \vec{b} = \{5 - (-2); -1 - 1; 1 - 0\} = \{5 + 2; -2; 1\} = \{7; -2; 1\}$.

Ответ: $\{7; -2; 1\}$.

б) Чтобы найти координаты вектора $\vec{b} - \vec{a}$, нужно из координат вектора $\vec{b}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{a}$.

$\vec{b} - \vec{a} = \{-2 - 5; 1 - (-1); 0 - 1\} = \{-7; 1 + 1; -1\} = \{-7; 2; -1\}$.

Ответ: $\{-7; 2; -1\}$.

в) Вычтем из координат вектора $\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $\vec{c}$.

$\vec{a} - \vec{c} = \{5 - 0; -1 - 0,2; 1 - 0\} = \{5; -1,2; 1\}$.

Ответ: $\{5; -1,2; 1\}$.

г) Для нахождения разности $\vec{d} - \vec{a}$ сначала преобразуем смешанную дробь в координатах вектора $\vec{d}$ в неправильную: $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$. Таким образом, $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$\vec{d} - \vec{a} = \{\frac{1}{3} - 5; \frac{12}{5} - (-1); -\frac{1}{7} - 1\} = \{\frac{1}{3} - \frac{15}{3}; \frac{12}{5} + \frac{5}{5}; -\frac{1}{7} - \frac{7}{7}\} = \{-\frac{14}{3}; \frac{17}{5}; -\frac{8}{7}\}$.

Ответ: $\{-\frac{14}{3}; \frac{17}{5}; -\frac{8}{7}\}$.

д) Для нахождения разности $\vec{c} - \vec{d}$ вычтем из координат вектора $\vec{c}$ координаты вектора $\vec{d}$, используя $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$\vec{c} - \vec{d} = \{0 - \frac{1}{3}; 0,2 - \frac{12}{5}; 0 - (-\frac{1}{7})\}$. Преобразуем $0,2$ в дробь: $0,2 = \frac{1}{5}$.

$\{0 - \frac{1}{3}; \frac{1}{5} - \frac{12}{5}; 0 + \frac{1}{7}\} = \{-\frac{1}{3}; -\frac{11}{5}; \frac{1}{7}\}$.

Ответ: $\{-\frac{1}{3}; -\frac{11}{5}; \frac{1}{7}\}$.

е) Для нахождения координат вектора $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ выполним соответствующие операции над координатами.

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \{5 - (-2) + 0; -1 - 1 + 0,2; 1 - 0 + 0\} = \{7; -2 + 0,2; 1\} = \{7; -1,8; 1\}$.

Ответ: $\{7; -1,8; 1\}$.

ж) Для нахождения координат вектора $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ выполним соответствующие вычитания над координатами.

$\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = \{5 - (-2) - 0; -1 - 1 - 0,2; 1 - 0 - 0\} = \{7; -2 - 0,2; 1\} = \{7; -2,2; 1\}$.

Ответ: $\{7; -2,2; 1\}$.

з) Для умножения вектора на число (скаляр) необходимо каждую координату вектора умножить на это число.

$2\vec{a} = 2 \cdot \{5; -1; 1\} = \{2 \cdot 5; 2 \cdot (-1); 2 \cdot 1\} = \{10; -2; 2\}$.

Ответ: $\{10; -2; 2\}$.

и) Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр $-3$.

$-3\vec{b} = -3 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-3 \cdot (-2); -3 \cdot 1; -3 \cdot 0\} = \{6; -3; 0\}$.

Ответ: $\{6; -3; 0\}$.

к) Умножим каждую координату вектора $\vec{c}$ на скаляр $-6$.

$-6\vec{c} = -6 \cdot \{0; 0,2; 0\} = \{-6 \cdot 0; -6 \cdot 0,2; -6 \cdot 0\} = \{0; -1,2; 0\}$.

Ответ: $\{0; -1,2; 0\}$.

л) Умножим каждую координату вектора $\vec{d}$ на скаляр $-\frac{1}{3}$, используя $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$-\frac{1}{3}\vec{d} = -\frac{1}{3} \cdot \{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\} = \{-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}; -\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5}; -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{7})\} = \{-\frac{1}{9}; -\frac{12}{15}; \frac{1}{21}\}$.

Сократим вторую координату: $-\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}$.

Результат: $\{-\frac{1}{9}; -\frac{4}{5}; \frac{1}{21}\}$.

Ответ: $\{-\frac{1}{9}; -\frac{4}{5}; \frac{1}{21}\}$.

м) Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр $0,2$.

$0,2\vec{b} = 0,2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{0,2 \cdot (-2); 0,2 \cdot 1; 0,2 \cdot 0\} = \{-0,4; 0,2; 0\}$.

Ответ: $\{-0,4; 0,2; 0\}$.