Номер 648, страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

648. Даны векторы

Найдите координаты векторов:

Для решения этой задачи используются правила операций над векторами в координатной форме. Пусть даны векторы $\vec{v_1}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v_2}\{x_2; y_2; z_2\}$, а также число $k$.

• При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число: $k\vec{v_1} = \{kx_1; ky_1; kz_1\}$.
• При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются): $\vec{v_1} \pm \vec{v_2} = \{x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2\}$.

Даны векторы: $\vec{a}\{-1; 1; 1\}$, $\vec{b}\{0; 2; -2\}$, $\vec{c}\{-3; 2; 0\}$ и $\vec{d}\{-2; 1; -2\}$.

а) Найдем координаты вектора $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}$.

Сначала вычислим произведения векторов на скаляры:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 1; 3 \cdot 1\} = \{-3; 3; 3\}$

$2\vec{b} = 2 \cdot \{0; 2; -2\} = \{2 \cdot 0; 2 \cdot 2; 2 \cdot (-2)\} = \{0; 4; -4\}$

Теперь выполним сложение и вычитание векторов:

$3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{-3; 3; 3\} + \{0; 4; -4\} - \{-3; 2; 0\}$

Сложим и вычтем соответствующие координаты:

x: $-3 + 0 - (-3) = -3 + 0 + 3 = 0$

y: $3 + 4 - 2 = 5$

z: $3 + (-4) - 0 = -1$

Таким образом, $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{0; 5; -1\}$.

Ответ: $\{0; 5; -1\}$.

б) Найдем координаты вектора $-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}$.

Вычислим произведения векторов на скаляры:

$-\vec{a} = -1 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{1; -1; -1\}$

$2\vec{c} = 2 \cdot \{-3; 2; 0\} = \{-6; 4; 0\}$

Теперь выполним операции с векторами:

$-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = \{1; -1; -1\} + \{-6; 4; 0\} - \{-2; 1; -2\}$

Сложим и вычтем соответствующие координаты:

x: $1 + (-6) - (-2) = 1 - 6 + 2 = -3$

y: $-1 + 4 - 1 = 2$

z: $-1 + 0 - (-2) = -1 + 0 + 2 = 1$

Таким образом, $-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = \{-3; 2; 1\}$.

Ответ: $\{-3; 2; 1\}$.

в) Найдем координаты вектора $0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d}$.

Вычислим произведения векторов на скаляры:

$0,1\vec{a} = 0,1 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{-0,1; 0,1; 0,1\}$

$3\vec{b} = 3 \cdot \{0; 2; -2\} = \{0; 6; -6\}$

$0,7\vec{c} = 0,7 \cdot \{-3; 2; 0\} = \{-2,1; 1,4; 0\}$

$5\vec{d} = 5 \cdot \{-2; 1; -2\} = \{-10; 5; -10\}$

Теперь найдем координаты результирующего вектора:

$0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d} = \{-0,1; 0,1; 0,1\} + \{0; 6; -6\} + \{-2,1; 1,4; 0\} - \{-10; 5; -10\}$

x: $-0,1 + 0 - 2,1 - (-10) = -2,2 + 10 = 7,8$

y: $0,1 + 6 + 1,4 - 5 = 7,5 - 5 = 2,5$

z: $0,1 - 6 + 0 - (-10) = -5,9 + 10 = 4,1$

Таким образом, $0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d} = \{7,8; 2,5; 4,1\}$.

Ответ: $\{7,8; 2,5; 4,1\}$.

г) Найдем координаты вектора $(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b})$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(2 - 1 + 2)\vec{a} + (3 + 2 - 2)\vec{b} = 3\vec{a} + 3\vec{b}$

Теперь найдем координаты вектора $3\vec{a} + 3\vec{b}$:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{-3; 3; 3\}$

$3\vec{b} = 3 \cdot \{0; 2; -2\} = \{0; 6; -6\}$

$3\vec{a} + 3\vec{b} = \{-3; 3; 3\} + \{0; 6; -6\}$

x: $-3 + 0 = -3$

y: $3 + 6 = 9$

z: $3 + (-6) = -3$

Таким образом, $(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b}) = \{-3; 9; -3\}$.

Ответ: $\{-3; 9; -3\}$.