Страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

640. Запишите координаты векторов:

Чтобы найти координаты вектора, который представлен в виде разложения по координатным ортам (базисным векторам) $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$, необходимо взять коэффициенты, стоящие при этих ортах. Для вектора $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ его координаты записываются как $\{x; y; z\}$. Коэффициент при $\vec{i}$ является первой координатой (по оси Ox), коэффициент при $\vec{j}$ — второй (по оси Oy), а коэффициент при $\vec{k}$ — третьей (по оси Oz).

$\vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 5\vec{k}$

Коэффициенты при базисных векторах:

• при $\vec{i}$ стоит коэффициент 3,
• при $\vec{j}$ стоит коэффициент 2,
• при $\vec{k}$ стоит коэффициент -5.

Следовательно, координаты вектора $\vec{a}$ равны $\{3; 2; -5\}$.
Ответ: $\vec{a}\{3; 2; -5\}$

$\vec{b} = -5\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$

Коэффициенты при базисных векторах:

• при $\vec{i}$ стоит коэффициент -5,
• при $\vec{j}$ стоит коэффициент 3,
• при $\vec{k}$ стоит коэффициент -1, так как $-\vec{k}$ это то же самое, что и $-1 \cdot \vec{k}$.

Следовательно, координаты вектора $\vec{b}$ равны $\{-5; 3; -1\}$.
Ответ: $\vec{b}\{-5; 3; -1\}$

$\vec{c} = \vec{i} - \vec{j}$

В данном разложении отсутствует орт $\vec{k}$, это означает, что коэффициент при нем равен 0. Полная запись вектора: $\vec{c} = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 1.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен -1.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 0.

Следовательно, координаты вектора $\vec{c}$ равны $\{1; -1; 0\}$.
Ответ: $\vec{c}\{1; -1; 0\}$

$\vec{d} = \vec{j} + \vec{k}$

В данном разложении отсутствует орт $\vec{i}$, что означает, что коэффициент при нем равен 0. Полная запись вектора: $\vec{d} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 1.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 1.

Следовательно, координаты вектора $\vec{d}$ равны $\{0; 1; 1\}$.
Ответ: $\vec{d}\{0; 1; 1\}$

$\vec{m} = \vec{k} - \vec{i}$

Для удобства приведем разложение к стандартному виду: $\vec{m} = -\vec{i} + \vec{k}$. В разложении отсутствует орт $\vec{j}$, значит коэффициент при нем равен 0. Полная запись: $\vec{m} = -1\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен -1.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 1.

Следовательно, координаты вектора $\vec{m}$ равны $\{-1; 0; 1\}$.
Ответ: $\vec{m}\{-1; 0; 1\}$

$\vec{n} = 0,7\vec{k}$

В данном разложении отсутствуют орты $\vec{i}$ и $\vec{j}$, что означает, что коэффициенты при них равны 0. Полная запись вектора: $\vec{n} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0,7\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 0,7.

Следовательно, координаты вектора $\vec{n}$ равны $\{0; 0; 0,7\}$.
Ответ: $\vec{n}\{0; 0; 0,7\}$

641. Даны векторы

Запишите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k.

Разложение любого вектора $\vec{v}$ с координатами $\{x; y; z\}$ по координатным векторам (ортам) $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ представляет собой его запись в виде линейной комбинации этих ортов. Коэффициентами в этой комбинации выступают соответствующие координаты вектора. Общая формула разложения выглядит следующим образом: $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Применим это правило для каждого из данных векторов.

$\vec{a}\{5; -1; 2\}$
Координаты данного вектора: $x=5$, $y=-1$, $z=2$.
Подставляем эти значения в общую формулу разложения:
$\vec{a} = 5 \cdot \vec{i} + (-1) \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k}$.
После упрощения записи (коэффициент 1 и знак "+" перед отрицательным коэффициентом опускаются) получаем:
$\vec{a} = 5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$.
Ответ: $\vec{a} = 5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$.

$\vec{b}\{-3; -1; 0\}$
Координаты данного вектора: $x=-3$, $y=-1$, $z=0$.
Разложение по координатным векторам:
$\vec{b} = -3 \cdot \vec{i} + (-1) \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$.
Слагаемые с нулевыми коэффициентами принято опускать, поэтому упрощенная запись выглядит так:
$\vec{b} = -3\vec{i} - \vec{j}$.
Ответ: $\vec{b} = -3\vec{i} - \vec{j}$.

$\vec{c}\{0; -1; 0\}$
Координаты данного вектора: $x=0$, $y=-1$, $z=0$.
Разложение по координатным векторам:
$\vec{c} = 0 \cdot \vec{i} + (-1) \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$.
Опуская слагаемые с нулевыми коэффициентами, получаем:
$\vec{c} = -\vec{j}$.
Ответ: $\vec{c} = -\vec{j}$.

$\vec{d}\{0; 0; 0\}$
Координаты данного вектора: $x=0$, $y=0$, $z=0$.
Это нулевой вектор, который обозначается как $\vec{0}$.
Его разложение по координатным векторам:
$\vec{d} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{d} = \vec{0}$.

642. На рисунке 185 изображён прямоугольный параллелепипед, у которого ОА = 2, ОВ = 3, ОО₁ = 2. Найдите координаты векторов

в системе координат Oxyz.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат Oxyz, как показано на рисунке. Начало координат O(0, 0, 0) находится в одной из вершин параллелепипеда. Оси координат направлены вдоль его ребер: ось Ox вдоль ребра OA, ось Oy вдоль ребра OB, а ось Oz вдоль ребра OO?.

По условию задачи даны длины этих ребер: $OA=2$, $OB=3$, $OO_1=2$. Используя эту информацию, мы можем определить координаты всех вершин параллелепипеда:
O(0, 0, 0)
A(2, 0, 0) (точка на оси Ox)
B(0, 3, 0) (точка на оси Oy)
O?(0, 0, 2) (точка на оси Oz)
C: Вершина C получается смещением точки A на вектор $\vec{OB}$ (или точки B на вектор $\vec{OA}$), поэтому ее координаты $C(2, 3, 0)$.
A?: Вершина A? получается смещением точки A на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $A_1(2, 0, 2)$.
B?: Вершина B? получается смещением точки B на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $B_1(0, 3, 2)$.
C?: Вершина C? получается смещением точки C на вектор $\vec{OO_1}$, поэтому ее координаты $C_1(2, 3, 2)$.

Теперь найдем координаты искомых векторов. Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M, y_M, z_M)$ и концом в точке $N(x_N, y_N, z_N)$ вычисляются по формуле $\vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)$.

$\vec{OA_1}$
Это радиус-вектор точки A?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки A?(2, 0, 2).
Ответ: $\vec{OA_1} = (2, 0, 2)$.

$\vec{OB_1}$
Это радиус-вектор точки B?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки B?(0, 3, 2).
Ответ: $\vec{OB_1} = (0, 3, 2)$.

$\vec{OO_1}$
Это радиус-вектор точки O?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки O?(0, 0, 2).
Ответ: $\vec{OO_1} = (0, 0, 2)$.

$\vec{OC}$
Это радиус-вектор точки C, поэтому его координаты совпадают с координатами точки C(2, 3, 0).
Ответ: $\vec{OC} = (2, 3, 0)$.

$\vec{OC_1}$
Это радиус-вектор точки C?, поэтому его координаты совпадают с координатами точки C?(2, 3, 2).
Ответ: $\vec{OC_1} = (2, 3, 2)$.

$\vec{BC_1}$
Начало вектора — точка B(0, 3, 0), конец — точка C?(2, 3, 2).
$\vec{BC_1} = (2 - 0, 3 - 3, 2 - 0) = (2, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{BC_1} = (2, 0, 2)$.

$\vec{AC_1}$
Начало вектора — точка A(2, 0, 0), конец — точка C?(2, 3, 2).
$\vec{AC_1} = (2 - 2, 3 - 0, 2 - 0) = (0, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{AC_1} = (0, 3, 2)$.

$\vec{O_1C}$
Начало вектора — точка O?(0, 0, 2), конец — точка C(2, 3, 0).
$\vec{O_1C} = (2 - 0, 3 - 0, 0 - 2) = (2, 3, -2)$.
Ответ: $\vec{O_1C} = (2, 3, -2)$.

643. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два произвольных вектора в координатной системе. Пусть это будут векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Доказательство проведем для трехмерного пространства, однако оно будет справедливо для пространства любой размерности.

Пусть векторы заданы своими координатами:

$\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$

$\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$

Любой вектор можно представить в виде разложения по ортам (единичным векторам) координатных осей $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$:

$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

$\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$

Сумма векторов

Найдем вектор $\vec{c}$, который является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Подставим в это равенство разложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по ортам:

$\vec{c} = (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}) + (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k})$

Используя свойства сложения векторов (ассоциативность и коммутативность) и свойство умножения вектора на число (дистрибутивность), сгруппируем слагаемые при одинаковых ортах:

$\vec{c} = (a_x\vec{i} + b_x\vec{i}) + (a_y\vec{j} + b_y\vec{j}) + (a_z\vec{k} + b_z\vec{k})$

Вынесем орты за скобки:

$\vec{c} = (a_x + b_x)\vec{i} + (a_y + b_y)\vec{j} + (a_z + b_z)\vec{k}$

Полученное выражение является разложением вектора $\vec{c}$ по ортам. Коэффициенты при ортах $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ по определению являются координатами вектора $\vec{c}$:

$c_x = a_x + b_x$

$c_y = a_y + b_y$

$c_z = a_z + b_z$

Таким образом, мы доказали, что каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат исходных векторов.

Ответ: Координаты вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z\}$, то есть каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Разность векторов

Найдем вектор $\vec{d}$, который является разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$

Аналогично случаю со сложением, подставим разложения векторов по ортам:

$\vec{d} = (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}) - (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых ортах:

$\vec{d} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k} - b_x\vec{i} - b_y\vec{j} - b_z\vec{k}$

$\vec{d} = (a_x\vec{i} - b_x\vec{i}) + (a_y\vec{j} - b_y\vec{j}) + (a_z\vec{k} - b_z\vec{k})$

Вынесем орты за скобки:

$\vec{d} = (a_x - b_x)\vec{i} + (a_y - b_y)\vec{j} + (a_z - b_z)\vec{k}$

Коэффициенты при ортах $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ являются координатами вектора $\vec{d}$:

$d_x = a_x - b_x$

$d_y = a_y - b_y$

$d_z = a_z - b_z$

Таким образом, мы доказали, что каждая координата вектора разности равна разности соответствующих координат исходных векторов.

Ответ: Координаты вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z\}$, то есть каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

644. Даны векторы

Найдите координаты векторов:

а) Чтобы найти координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$, нужно сложить соответствующие координаты векторов $\vec{a}\{3; -5; 2\}$ и $\vec{b}\{0; 7; -1\}$. Складываем первые, вторые и третьи координаты: $\vec{a} + \vec{b} = \{3 + 0; -5 + 7; 2 + (-1)\} = \{3; 2; 1\}$. Ответ: $\{3; 2; 1\}$.

б) Для нахождения координат вектора $\vec{a} + \vec{c}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{a}\{3; -5; 2\}$ и $\vec{c}\{\frac{2}{3}; 0; 0\}$. $\vec{a} + \vec{c} = \{3 + \frac{2}{3}; -5 + 0; 2 + 0\} = \{\frac{9}{3} + \frac{2}{3}; -5; 2\} = \{\frac{11}{3}; -5; 2\}$. Ответ: $\{\frac{11}{3}; -5; 2\}$.

в) Для нахождения координат вектора $\vec{b} + \vec{c}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{b}\{0; 7; -1\}$ и $\vec{c}\{\frac{2}{3}; 0; 0\}$. $\vec{b} + \vec{c} = \{0 + \frac{2}{3}; 7 + 0; -1 + 0\} = \{\frac{2}{3}; 7; -1\}$. Ответ: $\{\frac{2}{3}; 7; -1\}$.

г) Для нахождения координат вектора $\vec{d} + \vec{b}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{d}\{-2,7; 3,1; 0,5\}$ и $\vec{b}\{0; 7; -1\}$. $\vec{d} + \vec{b} = \{-2,7 + 0; 3,1 + 7; 0,5 + (-1)\} = \{-2,7; 10,1; -0,5\}$. Ответ: $\{-2,7; 10,1; -0,5\}$.

д) Для нахождения координат вектора $\vec{d} + \vec{a}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{d}\{-2,7; 3,1; 0,5\}$ и $\vec{a}\{3; -5; 2\}$. $\vec{d} + \vec{a} = \{-2,7 + 3; 3,1 + (-5); 0,5 + 2\} = \{0,3; -1,9; 2,5\}$. Ответ: $\{0,3; -1,9; 2,5\}$.

е) Для нахождения координат вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{a}\{3; -5; 2\}$, $\vec{b}\{0; 7; -1\}$ и $\vec{c}\{\frac{2}{3}; 0; 0\}$. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \{3 + 0 + \frac{2}{3}; -5 + 7 + 0; 2 + (-1) + 0\} = \{\frac{11}{3}; 2; 1\}$. Ответ: $\{\frac{11}{3}; 2; 1\}$.

ж) Для нахождения координат вектора $\vec{b} + \vec{a} + \vec{d}$ складываем соответствующие координаты векторов $\vec{b}\{0; 7; -1\}$, $\vec{a}\{3; -5; 2\}$ и $\vec{d}\{-2,7; 3,1; 0,5\}$. $\vec{b} + \vec{a} + \vec{d} = \{0 + 3 + (-2,7); 7 + (-5) + 3,1; -1 + 2 + 0,5\} = \{0,3; 5,1; 1,5\}$. Ответ: $\{0,3; 5,1; 1,5\}$.

з) Для нахождения координат вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$ складываем соответствующие координаты всех четырех векторов: $\vec{a}\{3; -5; 2\}$, $\vec{b}\{0; 7; -1\}$, $\vec{c}\{\frac{2}{3}; 0; 0\}$ и $\vec{d}\{-2,7; 3,1; 0,5\}$. Вычисляем каждую координату отдельно: $x = 3 + 0 + \frac{2}{3} + (-2,7) = 3 + \frac{2}{3} - \frac{27}{10} = \frac{90 + 20 - 81}{30} = \frac{29}{30}$. $y = -5 + 7 + 0 + 3,1 = 2 + 3,1 = 5,1$. $z = 2 + (-1) + 0 + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$. Координаты результирующего вектора: $\{\frac{29}{30}; 5,1; 1,5\}$. Ответ: $\{\frac{29}{30}; 5,1; 1,5\}$.

645. По данным рисунка 186 найдите координаты векторов

если ОА = 4, ОВ = 9, ОС = 2, а М, N и Р — середины отрезков АС, ОС и СВ.

Для решения задачи сначала определим координаты всех необходимых точек в трехмерной декартовой системе координат.

Из условия и рисунка следует, что начало координат O имеет координаты (0; 0; 0). Точки A, B и C лежат на положительных полуосях Ox, Oy и Oz соответственно.

• Координаты точки A: поскольку OA = 4, A(4; 0; 0).
• Координаты точки B: поскольку OB = 9, B(0; 9; 0).
• Координаты точки C: поскольку OC = 2, C(0; 0; 2).

Далее найдем координаты точек M, N и P, которые являются серединами отрезков. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов по формуле $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

• M — середина отрезка AC: $M(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}) = M(2; 0; 1)$.
• N — середина отрезка OC: $N(\frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}) = N(0; 0; 1)$.
• P — середина отрезка CB: $P(\frac{0+0}{2}; \frac{0+9}{2}; \frac{2+0}{2}) = P(0; 4,5; 1)$.

Теперь, зная координаты начальных и конечных точек, можем найти координаты векторов. Координаты вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $Y(x_2, y_2, z_2)$ находятся по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

$\vec{AC}$
Начало в A(4; 0; 0), конец в C(0; 0; 2).
$\vec{AC} = (0 - 4; 0 - 0; 2 - 0) = (-4; 0; 2)$.
Ответ: $\vec{AC}\{-4; 0; 2\}$.

$\vec{CB}$
Начало в C(0; 0; 2), конец в B(0; 9; 0).
$\vec{CB} = (0 - 0; 9 - 0; 0 - 2) = (0; 9; -2)$.
Ответ: $\vec{CB}\{0; 9; -2\}$.

$\vec{AB}$
Начало в A(4; 0; 0), конец в B(0; 9; 0).
$\vec{AB} = (0 - 4; 9 - 0; 0 - 0) = (-4; 9; 0)$.
Ответ: $\vec{AB}\{-4; 9; 0\}$.

$\vec{MN}$
Начало в M(2; 0; 1), конец в N(0; 0; 1).
$\vec{MN} = (0 - 2; 0 - 0; 1 - 1) = (-2; 0; 0)$.
Ответ: $\vec{MN}\{-2; 0; 0\}$.

$\vec{NP}$
Начало в N(0; 0; 1), конец в P(0; 4,5; 1).
$\vec{NP} = (0 - 0; 4,5 - 0; 1 - 1) = (0; 4,5; 0)$.
Ответ: $\vec{NP}\{0; 4,5; 0\}$.

$\vec{BM}$
Начало в B(0; 9; 0), конец в M(2; 0; 1).
$\vec{BM} = (2 - 0; 0 - 9; 1 - 0) = (2; -9; 1)$.
Ответ: $\vec{BM}\{2; -9; 1\}$.

$\vec{OM}$
Это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки M(2; 0; 1).
$\vec{OM} = (2 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (2; 0; 1)$.
Ответ: $\vec{OM}\{2; 0; 1\}$.

$\vec{OP}$
Это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки P(0; 4,5; 1).
$\vec{OP} = (0 - 0; 4,5 - 0; 1 - 0) = (0; 4,5; 1)$.
Ответ: $\vec{OP}\{0; 4,5; 1\}$.

646. Даны векторы

Найдите координаты векторов:

Для выполнения операций с векторами необходимо производить соответствующие арифметические действия над их координатами. Исходные данные векторов:

$\vec{a}\{5; -1; 1\}$

$\vec{b}\{-2; 1; 0\}$

$\vec{c}\{0; 0,2; 0\}$

$\vec{d}\{\frac{1}{3}; 2\frac{2}{5}; -\frac{1}{7}\}$

а) Чтобы найти координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, нужно из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.

$\vec{a} - \vec{b} = \{5 - (-2); -1 - 1; 1 - 0\} = \{5 + 2; -2; 1\} = \{7; -2; 1\}$.

Ответ: $\{7; -2; 1\}$.

б) Чтобы найти координаты вектора $\vec{b} - \vec{a}$, нужно из координат вектора $\vec{b}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{a}$.

$\vec{b} - \vec{a} = \{-2 - 5; 1 - (-1); 0 - 1\} = \{-7; 1 + 1; -1\} = \{-7; 2; -1\}$.

Ответ: $\{-7; 2; -1\}$.

в) Вычтем из координат вектора $\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $\vec{c}$.

$\vec{a} - \vec{c} = \{5 - 0; -1 - 0,2; 1 - 0\} = \{5; -1,2; 1\}$.

Ответ: $\{5; -1,2; 1\}$.

г) Для нахождения разности $\vec{d} - \vec{a}$ сначала преобразуем смешанную дробь в координатах вектора $\vec{d}$ в неправильную: $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$. Таким образом, $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$\vec{d} - \vec{a} = \{\frac{1}{3} - 5; \frac{12}{5} - (-1); -\frac{1}{7} - 1\} = \{\frac{1}{3} - \frac{15}{3}; \frac{12}{5} + \frac{5}{5}; -\frac{1}{7} - \frac{7}{7}\} = \{-\frac{14}{3}; \frac{17}{5}; -\frac{8}{7}\}$.

Ответ: $\{-\frac{14}{3}; \frac{17}{5}; -\frac{8}{7}\}$.

д) Для нахождения разности $\vec{c} - \vec{d}$ вычтем из координат вектора $\vec{c}$ координаты вектора $\vec{d}$, используя $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$\vec{c} - \vec{d} = \{0 - \frac{1}{3}; 0,2 - \frac{12}{5}; 0 - (-\frac{1}{7})\}$. Преобразуем $0,2$ в дробь: $0,2 = \frac{1}{5}$.

$\{0 - \frac{1}{3}; \frac{1}{5} - \frac{12}{5}; 0 + \frac{1}{7}\} = \{-\frac{1}{3}; -\frac{11}{5}; \frac{1}{7}\}$.

Ответ: $\{-\frac{1}{3}; -\frac{11}{5}; \frac{1}{7}\}$.

е) Для нахождения координат вектора $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ выполним соответствующие операции над координатами.

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \{5 - (-2) + 0; -1 - 1 + 0,2; 1 - 0 + 0\} = \{7; -2 + 0,2; 1\} = \{7; -1,8; 1\}$.

Ответ: $\{7; -1,8; 1\}$.

ж) Для нахождения координат вектора $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ выполним соответствующие вычитания над координатами.

$\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = \{5 - (-2) - 0; -1 - 1 - 0,2; 1 - 0 - 0\} = \{7; -2 - 0,2; 1\} = \{7; -2,2; 1\}$.

Ответ: $\{7; -2,2; 1\}$.

з) Для умножения вектора на число (скаляр) необходимо каждую координату вектора умножить на это число.

$2\vec{a} = 2 \cdot \{5; -1; 1\} = \{2 \cdot 5; 2 \cdot (-1); 2 \cdot 1\} = \{10; -2; 2\}$.

Ответ: $\{10; -2; 2\}$.

и) Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр $-3$.

$-3\vec{b} = -3 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-3 \cdot (-2); -3 \cdot 1; -3 \cdot 0\} = \{6; -3; 0\}$.

Ответ: $\{6; -3; 0\}$.

к) Умножим каждую координату вектора $\vec{c}$ на скаляр $-6$.

$-6\vec{c} = -6 \cdot \{0; 0,2; 0\} = \{-6 \cdot 0; -6 \cdot 0,2; -6 \cdot 0\} = \{0; -1,2; 0\}$.

Ответ: $\{0; -1,2; 0\}$.

л) Умножим каждую координату вектора $\vec{d}$ на скаляр $-\frac{1}{3}$, используя $\vec{d}\{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\}$.

$-\frac{1}{3}\vec{d} = -\frac{1}{3} \cdot \{\frac{1}{3}; \frac{12}{5}; -\frac{1}{7}\} = \{-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}; -\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5}; -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{7})\} = \{-\frac{1}{9}; -\frac{12}{15}; \frac{1}{21}\}$.

Сократим вторую координату: $-\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}$.

Результат: $\{-\frac{1}{9}; -\frac{4}{5}; \frac{1}{21}\}$.

Ответ: $\{-\frac{1}{9}; -\frac{4}{5}; \frac{1}{21}\}$.

м) Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр $0,2$.

$0,2\vec{b} = 0,2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{0,2 \cdot (-2); 0,2 \cdot 1; 0,2 \cdot 0\} = \{-0,4; 0,2; 0\}$.

Ответ: $\{-0,4; 0,2; 0\}$.

647. Даны векторы

Найдите координаты векторов

Для нахождения координат векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ необходимо выполнить линейные операции над заданными векторами $\vec{a}\{-1; 2; 0\}$, $\vec{b}\{0; -5; -2\}$ и $\vec{c}\{2; 1; -3\}$. Все операции (умножение на скаляр, сложение и вычитание) производятся покоординатно.

Найдем координаты вектора $\vec{p} = 3\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{c}$

1. Сначала вычислим координаты векторов $3\vec{b}$ и $2\vec{a}$, умножив каждую координату исходных векторов на соответствующий скаляр:
$3\vec{b} = 3 \cdot \{0; -5; -2\} = \{3 \cdot 0; 3 \cdot (-5); 3 \cdot (-2)\} = \{0; -15; -6\}$
$2\vec{a} = 2 \cdot \{-1; 2; 0\} = \{2 \cdot (-1); 2 \cdot 2; 2 \cdot 0\} = \{-2; 4; 0\}$

2. Теперь подставим полученные координаты в формулу для $\vec{p}$ и выполним вычитание и сложение соответствующих координат:
$\vec{p} = \{0; -15; -6\} - \{-2; 4; 0\} + \{2; 1; -3\}$
Координата x: $p_x = 0 - (-2) + 2 = 2 + 2 = 4$
Координата y: $p_y = -15 - 4 + 1 = -18$
Координата z: $p_z = -6 - 0 + (-3) = -9$

Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{4; -18; -9\}$.

Ответ: $\vec{p}\{4; -18; -9\}$.

Найдем координаты вектора $\vec{q} = 3\vec{c} - 2\vec{b} + \vec{a}$

1. Аналогично, сначала вычислим координаты векторов $3\vec{c}$ и $2\vec{b}$:
$3\vec{c} = 3 \cdot \{2; 1; -3\} = \{3 \cdot 2; 3 \cdot 1; 3 \cdot (-3)\} = \{6; 3; -9\}$
$2\vec{b} = 2 \cdot \{0; -5; -2\} = \{2 \cdot 0; 2 \cdot (-5); 2 \cdot (-2)\} = \{0; -10; -4\}$

2. Теперь подставим полученные координаты в формулу для $\vec{q}$:
$\vec{q} = \{6; 3; -9\} - \{0; -10; -4\} + \{-1; 2; 0\}$
Координата x: $q_x = 6 - 0 + (-1) = 5$
Координата y: $q_y = 3 - (-10) + 2 = 3 + 10 + 2 = 15$
Координата z: $q_z = -9 - (-4) + 0 = -9 + 4 = -5$

Таким образом, координаты вектора $\vec{q}$ равны $\{5; 15; -5\}$.

Ответ: $\vec{q}\{5; 15; -5\}$.

648. Даны векторы

Найдите координаты векторов:

Для решения этой задачи используются правила операций над векторами в координатной форме. Пусть даны векторы $\vec{v_1}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v_2}\{x_2; y_2; z_2\}$, а также число $k$.

• При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число: $k\vec{v_1} = \{kx_1; ky_1; kz_1\}$.
• При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются): $\vec{v_1} \pm \vec{v_2} = \{x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2\}$.

Даны векторы: $\vec{a}\{-1; 1; 1\}$, $\vec{b}\{0; 2; -2\}$, $\vec{c}\{-3; 2; 0\}$ и $\vec{d}\{-2; 1; -2\}$.

а) Найдем координаты вектора $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}$.

Сначала вычислим произведения векторов на скаляры:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 1; 3 \cdot 1\} = \{-3; 3; 3\}$

$2\vec{b} = 2 \cdot \{0; 2; -2\} = \{2 \cdot 0; 2 \cdot 2; 2 \cdot (-2)\} = \{0; 4; -4\}$

Теперь выполним сложение и вычитание векторов:

$3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{-3; 3; 3\} + \{0; 4; -4\} - \{-3; 2; 0\}$

Сложим и вычтем соответствующие координаты:

x: $-3 + 0 - (-3) = -3 + 0 + 3 = 0$

y: $3 + 4 - 2 = 5$

z: $3 + (-4) - 0 = -1$

Таким образом, $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{0; 5; -1\}$.

Ответ: $\{0; 5; -1\}$.

б) Найдем координаты вектора $-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}$.

Вычислим произведения векторов на скаляры:

$-\vec{a} = -1 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{1; -1; -1\}$

$2\vec{c} = 2 \cdot \{-3; 2; 0\} = \{-6; 4; 0\}$

Теперь выполним операции с векторами:

$-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = \{1; -1; -1\} + \{-6; 4; 0\} - \{-2; 1; -2\}$

Сложим и вычтем соответствующие координаты:

x: $1 + (-6) - (-2) = 1 - 6 + 2 = -3$

y: $-1 + 4 - 1 = 2$

z: $-1 + 0 - (-2) = -1 + 0 + 2 = 1$

Таким образом, $-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = \{-3; 2; 1\}$.

Ответ: $\{-3; 2; 1\}$.

в) Найдем координаты вектора $0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d}$.

Вычислим произведения векторов на скаляры:

$0,1\vec{a} = 0,1 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{-0,1; 0,1; 0,1\}$

$3\vec{b} = 3 \cdot \{0; 2; -2\} = \{0; 6; -6\}$

$0,7\vec{c} = 0,7 \cdot \{-3; 2; 0\} = \{-2,1; 1,4; 0\}$

$5\vec{d} = 5 \cdot \{-2; 1; -2\} = \{-10; 5; -10\}$

Теперь найдем координаты результирующего вектора:

$0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d} = \{-0,1; 0,1; 0,1\} + \{0; 6; -6\} + \{-2,1; 1,4; 0\} - \{-10; 5; -10\}$

x: $-0,1 + 0 - 2,1 - (-10) = -2,2 + 10 = 7,8$

y: $0,1 + 6 + 1,4 - 5 = 7,5 - 5 = 2,5$

z: $0,1 - 6 + 0 - (-10) = -5,9 + 10 = 4,1$

Таким образом, $0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d} = \{7,8; 2,5; 4,1\}$.

Ответ: $\{7,8; 2,5; 4,1\}$.

г) Найдем координаты вектора $(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b})$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(2 - 1 + 2)\vec{a} + (3 + 2 - 2)\vec{b} = 3\vec{a} + 3\vec{b}$

Теперь найдем координаты вектора $3\vec{a} + 3\vec{b}$:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{-1; 1; 1\} = \{-3; 3; 3\}$

$3\vec{b} = 3 \cdot \{0; 2; -2\} = \{0; 6; -6\}$

$3\vec{a} + 3\vec{b} = \{-3; 3; 3\} + \{0; 6; -6\}$

x: $-3 + 0 = -3$

y: $3 + 6 = 9$

z: $3 + (-6) = -3$

Таким образом, $(2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b}) = \{-3; 9; -3\}$.

Ответ: $\{-3; 9; -3\}$.

649. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам:

Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю (длине) и противоположно направлены. Если вектор $\vec{v}$ задан своими координатами $\vec{v}\{x; y; z\}$, то противоположный ему вектор $-\vec{v}$ будет иметь координаты, полученные умножением каждой координаты исходного вектора на $-1$, то есть $-\vec{v}\{-x; -y; -z\}$.

Для решения задачи необходимо найти координаты векторов, противоположных заданным. Сначала определим координаты единичных векторов (ортов) в прямоугольной системе координат: $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$, $\vec{k}\{0; 0; 1\}$.

$\vec{i}$Вектор $\vec{i}$ имеет координаты $\{1; 0; 0\}$. Координаты противоположного ему вектора $-\vec{i}$ получаются изменением знаков координат на противоположные: $\{-1; -0; -0\}$, что равно $\{-1; 0; 0\}$.Ответ: $\{-1; 0; 0\}$.

$\vec{j}$Вектор $\vec{j}$ имеет координаты $\{0; 1; 0\}$. Координаты противоположного ему вектора $-\vec{j}$ получаются изменением знаков координат: $\{-0; -1; -0\}$, что равно $\{0; -1; 0\}$.Ответ: $\{0; -1; 0\}$.

$\vec{k}$Вектор $\vec{k}$ имеет координаты $\{0; 0; 1\}$. Координаты противоположного ему вектора $-\vec{k}$ получаются изменением знаков координат: $\{-0; -0; -1\}$, что равно $\{0; 0; -1\}$.Ответ: $\{0; 0; -1\}$.

$\vec{a}\{2; 0; 0\}$Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{2; 0; 0\}$. Координаты противоположного вектора $-\vec{a}$ равны $\{-2; -0; -0\}$, то есть $\{-2; 0; 0\}$.Ответ: $\{-2; 0; 0\}$.

$\vec{b}\{-3; 5; -7\}$Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $\{-3; 5; -7\}$. Для нахождения координат противоположного вектора $-\vec{b}$ изменим знак каждой координаты: $\{-(-3); -5; -(-7)\}$, что равно $\{3; -5; 7\}$.Ответ: $\{3; -5; 7\}$.

$\vec{c}\{-0,3; 0; 1,75\}$Вектор $\vec{c}$ имеет координаты $\{-0,3; 0; 1,75\}$. Координаты противоположного вектора $-\vec{c}$ находятся изменением знаков исходных координат: $\{-(-0,3); -0; -1,75\}$, что равно $\{0,3; 0; -1,75\}$.Ответ: $\{0,3; 0; -1,75\}$.