Страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

653. Даны векторы

Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало координат.

По определению, координаты вектора, начало которого находится в точке $M_1(x_1; y_1; z_1)$, а конец — в точке $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{M_1M_2}\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

В данной задаче начальной точкой для всех векторов является точка $O$ — начало координат. Координаты начала координат равны $(0; 0; 0)$. Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором.

Таким образом, если точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$, то вектор $\vec{OA}$ будет иметь координаты $\{x_A - 0; y_A - 0; z_A - 0\} = \{x_A; y_A; z_A\}$. Это означает, что координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конечной точки.

Исходя из этого, мы можем найти координаты точек A, B и C.

Координаты точки A
Нам дан вектор $\vec{OA}\{3; 2; 1\}$. Так как это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки A.
Ответ: $A(3; 2; 1)$.

Координаты точки B
Нам дан вектор $\vec{OB}\{1; -3; 5\}$. Так как это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки B.
Ответ: $B(1; -3; 5)$.

Координаты точки C
Нам дан вектор $\vec{OC}\{-\frac{1}{3}; 0,75; -2\frac{3}{4}\}$. Так как это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки C. Для удобства можно привести все координаты к одному виду (например, к обыкновенным дробям: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $-2\frac{3}{4} = -\frac{11}{4}$), но это не является обязательным требованием.
Ответ: $C(-\frac{1}{3}; 0,75; -2\frac{3}{4})$.

654. Даны точки А(2; −3; 0), В(7; −12; 18) и С(−8; 0; 5). Запишите координаты векторов OA, OB и OC, если точка О — начало координат.

Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор задан точками начала $M(x_1; y_1; z_1)$ и конца $N(x_2; y_2; z_2)$, то его координаты вычисляются по формуле:

$\vec{MN} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

В условии задачи сказано, что точка O — это начало координат, следовательно, ее координаты $O(0; 0; 0)$. Вектор, начало которого находится в начале координат, называется радиус-вектором. Координаты радиус-вектора всегда совпадают с координатами его конечной точки.

Координаты вектора $\vec{OA}$

Начало вектора — точка $O(0; 0; 0)$, конец — точка $A(2; -3; 0)$.
Координаты вектора $\vec{OA}$ равны: $(2 - 0; -3 - 0; 0 - 0)$.
Таким образом, $\vec{OA} = (2; -3; 0)$.
Ответ: $\vec{OA} = (2; -3; 0)$.

Координаты вектора $\vec{OB}$

Начало вектора — точка $O(0; 0; 0)$, конец — точка $B(7; -12; 18)$.
Координаты вектора $\vec{OB}$ равны: $(7 - 0; -12 - 0; 18 - 0)$.
Таким образом, $\vec{OB} = (7; -12; 18)$.
Ответ: $\vec{OB} = (7; -12; 18)$.

Координаты вектора $\vec{OC}$

Начало вектора — точка $O(0; 0; 0)$, конец — точка $C(-8; 0; 5)$.
Координаты вектора $\vec{OC}$ равны: $(-8 - 0; 0 - 0; 5 - 0)$.
Таким образом, $\vec{OC} = (-8; 0; 5)$.
Ответ: $\vec{OC} = (-8; 0; 5)$.

655. Найдите координаты вектора AB, если:

Чтобы найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B; z_B)$, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Формула для нахождения координат вектора $\overrightarrow{AB}$ выглядит следующим образом:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

а) Даны точки $A(3; -1; 2)$ и $B(2; -1; 4)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, вычитая из координат точки B соответствующие координаты точки A:

$x = 2 - 3 = -1$

$y = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

$z = 4 - 2 = 2$

Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(-1; 0; 2)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}\{-1; 0; 2\}$.

б) Даны точки $A(-2; 6; -2)$ и $B(3; -1; 0)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$x = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$

$y = -1 - 6 = -7$

$z = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$

Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(5; -7; 2)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}\{5; -7; 2\}$.

в) Даны точки $A(1; \frac{5}{6}; \frac{1}{2})$ и $B(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4})$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$x = \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

$z = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$

Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}\{-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\}$.

656. Вершины треугольника ABC имеют координаты: А(1; 6; 2), В(2; 3; −1), С(−3; 4; 5). Разложите векторы AB, BC и CA по координатным векторам i, j и k.

Для нахождения координат вектора, заданного двумя точками, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если точка $M_1$ имеет координаты $(x_1; y_1; z_1)$, а точка $M_2$ имеет координаты $(x_2; y_2; z_2)$, то вектор $\vec{M_1M_2}$ имеет координаты $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Разложение вектора $\vec{a}$ с координатами $(x; y; z)$ по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ имеет вид: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Даны координаты вершин треугольника: $A(1; 6; 2)$, $B(2; 3; -1)$, $C(-3; 4; 5)$.

Разложение вектора $\vec{AB}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки $B$ соответствующие координаты точки $A$:

$\vec{AB} = (2 - 1; 3 - 6; -1 - 2) = (1; -3; -3)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{AB}$ по координатным векторам:

$\vec{AB} = 1 \cdot \vec{i} + (-3) \cdot \vec{j} + (-3) \cdot \vec{k} = \vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$.

Разложение вектора $\vec{BC}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, вычитая из координат точки $C$ соответствующие координаты точки $B$:

$\vec{BC} = (-3 - 2; 4 - 3; 5 - (-1)) = (-5; 1; 6)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{BC}$ по координатным векторам:

$\vec{BC} = -5 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + 6 \cdot \vec{k} = -5\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$.

Ответ: $\vec{BC} = -5\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$.

Разложение вектора $\vec{CA}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{CA}$, вычитая из координат точки $A$ соответствующие координаты точки $C$:

$\vec{CA} = (1 - (-3); 6 - 4; 2 - 5) = (1 + 3; 2; -3) = (4; 2; -3)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{CA}$ по координатным векторам:

$\vec{CA} = 4 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} + (-3) \cdot \vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$.

Ответ: $\vec{CA} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$.

657. Даны точки А(3; −1; 5), В(2; 3; −4), С(7; 0; −1) и D(8; −4; 8). Докажите, что векторы AB и DC равны. Равны ли векторы BC и AD?

Докажите, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны

Два вектора считаются равными, если их соответствующие координаты равны. Чтобы доказать равенство векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$, необходимо найти их координаты и сравнить.

Координаты вектора, заданного начальной точкой $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле: $\overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, где $A(3; -1; 5)$ – начало, а $B(2; 3; -4)$ – конец:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 3; 3 - (-1); -4 - 5) = (-1; 3 + 1; -9) = (-1; 4; -9)$.

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{DC}$, где $D(8; -4; 8)$ – начало, а $C(7; 0; -1)$ – конец:

$\overrightarrow{DC} = (7 - 8; 0 - (-4); -1 - 8) = (-1; 0 + 4; -9) = (-1; 4; -9)$.

Сравнивая полученные координаты, мы видим, что они полностью совпадают. Так как $\overrightarrow{AB} = (-1; 4; -9)$ и $\overrightarrow{DC} = (-1; 4; -9)$, то векторы равны.

Ответ: векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны, так как их соответствующие координаты совпадают: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (-1; 4; -9)$.

Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$?

Для ответа на этот вопрос найдем координаты векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ и сравним их.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{BC}$, где $B(2; 3; -4)$ – начало, а $C(7; 0; -1)$ – конец:

$\overrightarrow{BC} = (7 - 2; 0 - 3; -1 - (-4)) = (5; -3; -1 + 4) = (5; -3; 3)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AD}$, где $A(3; -1; 5)$ – начало, а $D(8; -4; 8)$ – конец:

$\overrightarrow{AD} = (8 - 3; -4 - (-1); 8 - 5) = (5; -4 + 1; 3) = (5; -3; 3)$.

Координаты векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ полностью совпадают.

Ответ: да, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ равны, так как их соответствующие координаты совпадают: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = (5; -3; 3)$.

658. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если:

Решение

а) Если векторы AB и AC коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Найдём координаты этих векторов: AB{−8; 11; −7}, AC{24; −33; 21}. Очевидно, AC = −3AB, поэтому векторы AB и AC коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.

Для того чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), были коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, для векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ должно выполняться условие $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$ для некоторого числа $k$.

а) Даны точки $A(3; -7; 8)$, $B(-5; 4; 1)$, $C(27; -40; 29)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-5 - 3; 4 - (-7); 1 - 8\} = \{-8; 11; -7\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{27 - 3; -40 - (-7); 29 - 8\} = \{24; -33; 21\}$.

Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\frac{24}{-8} = -3$

$\frac{-33}{11} = -3$

$\frac{21}{-7} = -3$

Поскольку отношения соответствующих координат равны одному и тому же числу ($-3$), векторы коллинеарны. Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: да, лежат.

б) Даны точки $A(-5; 7; 12)$, $B(4; -8; 3)$, $C(13; -23; -6)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{4 - (-5); -8 - 7; 3 - 12\} = \{9; -15; -9\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{13 - (-5); -23 - 7; -6 - 12\} = \{18; -30; -18\}$.

Проверим пропорциональность координат:

$\frac{18}{9} = 2$

$\frac{-30}{-15} = 2$

$\frac{-18}{-9} = 2$

Отношения соответствующих координат равны числу $2$, следовательно, векторы коллинеарны. Это означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: да, лежат.

в) Даны точки $A(-4; 8; -2)$, $B(-3; -1; 7)$, $C(-2; -10; -16)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-3 - (-4); -1 - 8; 7 - (-2)\} = \{1; -9; 9\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{-2 - (-4); -10 - 8; -16 - (-2)\} = \{2; -18; -14\}$.

Проверим пропорциональность координат:

$\frac{2}{1} = 2$

$\frac{-18}{-9} = 2$

$\frac{-14}{9} \approx -1.56$

Так как $2 \ne \frac{-14}{9}$, отношения координат не равны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, и точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: нет, не лежат.

659. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:

Для того чтобы четыре точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора, построенные на этих точках с общим началом в одной из них, были компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Смешанное произведение векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$, $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ и $\vec{c}=(x_3, y_3, z_3)$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат: $ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} $

Даны точки $A(-2; -13; 3)$, $B(1; 4; 1)$, $C(-1; -1; -4)$, $D(0; 0; 0)$. Выберем точку D в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$: $\vec{DA} = A - D = (-2-0; -13-0; 3-0) = (-2; -13; 3)$ $\vec{DB} = B - D = (1-0; 4-0; 1-0) = (1; 4; 1)$ $\vec{DC} = C - D = (-1-0; -1-0; -4-0) = (-1; -1; -4)$

Теперь вычислим смешанное произведение этих векторов: $ (\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}) = \begin{vmatrix} -2 & -13 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & -4 \end{vmatrix} $ $ = -2(4 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) - (-13)(1 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) + 3(1 \cdot (-1) - 4 \cdot (-1)) $ $ = -2(-16 + 1) + 13(-4 + 1) + 3(-1 + 4) = -2(-15) + 13(-3) + 3(3) = 30 - 39 + 9 = 0 $

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, а значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.

Даны точки $A(0; 1; 0)$, $B(3; 4; -1)$, $C(-2; -3; 0)$, $D(2; 0; 3)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (3-0; 4-1; -1-0) = (3; 3; -1)$ $\vec{AC} = C - A = (-2-0; -3-1; 0-0) = (-2; -4; 0)$ $\vec{AD} = D - A = (2-0; 0-1; 3-0) = (2; -1; 3)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} $ $ = 3(-4 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - 3(-2 \cdot 3 - 0 \cdot 2) + (-1)(-2 \cdot (-1) - (-4) \cdot 2) $ $ = 3(-12) - 3(-6) - 1(2 + 8) = -36 + 18 - 10 = -28 $

Смешанное произведение не равно нулю ($-28 \neq 0$), следовательно, векторы некомпланарны, и точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Ответ: нет, не лежат.

Даны точки $A(5; -1; 0)$, $B(-2; 7; 1)$, $C(12; -15; -7)$, $D(1; 1; -2)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (-2-5; 7-(-1); 1-0) = (-7; 8; 1)$ $\vec{AC} = C - A = (12-5; -15-(-1); -7-0) = (7; -14; -7)$ $\vec{AD} = D - A = (1-5; 1-(-1); -2-0) = (-4; 2; -2)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -7 & 8 & 1 \\ 7 & -14 & -7 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix} $ $ = -7((-14) \cdot (-2) - (-7) \cdot 2) - 8(7 \cdot (-2) - (-7) \cdot (-4)) + 1(7 \cdot 2 - (-14) \cdot (-4)) $ $ = -7(28 + 14) - 8(-14 - 28) + 1(14 - 56) = -7(42) - 8(-42) - 42 = -294 + 336 - 42 = 0 $

Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны, и точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.

660. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами А (х₁; у₁; z₁), В (х₂; у₂; z₂), С (х₃; у₃; z₃) имеет координаты

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и $C(x_3; y_3; z_3)$.

Рассмотрим медиану $AM_1$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M_1$ является серединой отрезка $BC$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов.

Найдем координаты точки $M_1(x_{M_1}; y_{M_1}; z_{M_1})$:

$x_{M_1} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_1} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

$z_{M_1} = \frac{z_2 + z_3}{2}$

Таким образом, точка $M_1$ имеет координаты: $M_1\left(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2}\right)$.

Известно, что точка пересечения медиан треугольника (которую также называют центроидом) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть $O(x_O; y_O; z_O)$ — точка пересечения медиан. Тогда точка $O$ делит отрезок $AM_1$ так, что $AO : OM_1 = 2 : 1$.

Воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении. Если точка $O$ делит отрезок $AM_1$ в отношении $\lambda = 2$, то ее координаты вычисляются следующим образом:

Координата $x_O$ точки $O$ находится по формуле:$x_O = \frac{x_A + \lambda \cdot x_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{x_1 + 2 \cdot x_{M_1}}{1 + 2} = \frac{x_1 + 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2}}{3} = \frac{x_1 + (x_2 + x_3)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$.

Координата $y_O$ точки $O$ находится аналогично:$y_O = \frac{y_A + \lambda \cdot y_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{y_1 + 2 \cdot y_{M_1}}{1 + 2} = \frac{y_1 + 2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2}}{3} = \frac{y_1 + (y_2 + y_3)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Координата $z_O$ точки $O$ находится аналогично:$z_O = \frac{z_A + \lambda \cdot z_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{z_1 + 2 \cdot z_{M_1}}{1 + 2} = \frac{z_1 + 2 \cdot \frac{z_2 + z_3}{2}}{3} = \frac{z_1 + (z_2 + z_3)}{3} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.

Таким образом, мы получили, что координаты точки пересечения медиан $O$ равны $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ вычисляются по формуле: $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$.

661. Точка М — середина отрезка AB. Найдите координаты: а) точки М, если А(0; 3; −4), В(−2; 2; 0); б) точки В, если А(14; −8; 5), М(3; −2; −7); в) точки А, если В(0; 0; 2), М(−12; 4; 15).

Для решения задачи воспользуемся формулами координат середины отрезка. Если точка $M(x_M; y_M; z_M)$ является серединой отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, то ее координаты вычисляются следующим образом:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины. Например, для точки $B$:

$x_B = 2x_M - x_A$

$y_B = 2y_M - y_A$

$z_B = 2z_M - z_A$

Аналогично для точки $A$:

$x_A = 2x_M - x_B$

$y_A = 2y_M - y_B$

$z_A = 2z_M - z_B$

Теперь решим каждый пункт задачи.

а) Найти координаты точки $M$, если $A(0; 3; -4)$, $B(-2; 2; 0)$.

Используем формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

$z_M = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, координаты точки $M$ равны $(-1; 2,5; -2)$.

Ответ: $M(-1; 2,5; -2)$.

б) Найти координаты точки $B$, если $A(14; -8; 5)$, $M(3; -2; -7)$.

Используем формулы для нахождения координат конца отрезка:

$x_B = 2x_M - x_A = 2 \cdot 3 - 14 = 6 - 14 = -8$

$y_B = 2y_M - y_A = 2 \cdot (-2) - (-8) = -4 + 8 = 4$

$z_B = 2z_M - z_A = 2 \cdot (-7) - 5 = -14 - 5 = -19$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-8; 4; -19)$.

Ответ: $B(-8; 4; -19)$.

в) Найти координаты точки $A$, если $B(0; 0; 2)$, $M(-12; 4; 15)$.

Используем формулы для нахождения координат конца отрезка:

$x_A = 2x_M - x_B = 2 \cdot (-12) - 0 = -24$

$y_A = 2y_M - y_B = 2 \cdot 4 - 0 = 8$

$z_A = 2z_M - z_B = 2 \cdot 15 - 2 = 30 - 2 = 28$

Следовательно, координаты точки $A$ равны $(-24; 8; 28)$.

Ответ: $A(-24; 8; 28)$.

662. Середина отрезка AB лежит на оси Ох. Найдите m и n, если:

Пусть точка M - середина отрезка AB. Координаты середины отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Поскольку середина отрезка AB, точка M, лежит на оси Ox, ее y-координата и z-координата равны нулю. Таким образом, для координат точек A и B должны выполняться два условия:

1) $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = 0 \implies y_A + y_B = 0$

2) $z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = 0 \implies z_A + z_B = 0$

Найдем m и n для каждого случая, используя эти условия.

а) Даны точки $A(-3; m; 5)$ и $B(2; -2; n)$.

Применяем условие для y-координат:

$y_A + y_B = 0 \implies m + (-2) = 0$

$m - 2 = 0$

$m = 2$

Применяем условие для z-координат:

$z_A + z_B = 0 \implies 5 + n = 0$

$n = -5$

Ответ: $m=2, n=-5$.

б) Даны точки $A(1; 0,5; -4)$ и $B(1; m; 2n)$.

Применяем условие для y-координат:

$y_A + y_B = 0 \implies 0,5 + m = 0$

$m = -0,5$

Применяем условие для z-координат:

$z_A + z_B = 0 \implies -4 + 2n = 0$

$2n = 4$

$n = 2$

Ответ: $m=-0,5, n=2$.

в) Даны точки $A(0; m; n+1)$ и $B(1; n; -m+1)$.

Составим систему уравнений на основе условий $y_A + y_B = 0$ и $z_A + z_B = 0$.

1) $y_A + y_B = m + n = 0$

2) $z_A + z_B = (n+1) + (-m+1) = n - m + 2 = 0 \implies -m + n = -2$

Получаем систему:

$\begin{cases} m + n = 0 \\ -m + n = -2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $m$:

$(m+n) + (-m+n) = 0 + (-2)$

$2n = -2$

$n = -1$

Теперь найдем $m$, подставив $n=-1$ в первое уравнение:

$m + (-1) = 0$

$m = 1$

Ответ: $m=1, n=-1$.

г) Даны точки $A(7; 2m+n; -n)$ и $B(-5; -3; m-3)$.

Составим систему уравнений на основе условий $y_A + y_B = 0$ и $z_A + z_B = 0$.

1) $y_A + y_B = (2m+n) + (-3) = 2m + n - 3 = 0 \implies 2m + n = 3$

2) $z_A + z_B = (-n) + (m-3) = m - n - 3 = 0 \implies m - n = 3$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2m + n = 3 \\ m - n = 3 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $n$:

$(2m + n) + (m - n) = 3 + 3$

$3m = 6$

$m = 2$

Подставим значение $m = 2$ во второе уравнение, чтобы найти $n$:

$2 - n = 3$

$-n = 1$

$n = -1$

Ответ: $m=2, n=-1$.