Номер 660, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

660. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами А (х₁; у₁; z₁), В (х₂; у₂; z₂), С (х₃; у₃; z₃) имеет координаты

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и $C(x_3; y_3; z_3)$.

Рассмотрим медиану $AM_1$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M_1$ является серединой отрезка $BC$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов.

Найдем координаты точки $M_1(x_{M_1}; y_{M_1}; z_{M_1})$:

$x_{M_1} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_1} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

$z_{M_1} = \frac{z_2 + z_3}{2}$

Таким образом, точка $M_1$ имеет координаты: $M_1\left(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2}\right)$.

Известно, что точка пересечения медиан треугольника (которую также называют центроидом) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть $O(x_O; y_O; z_O)$ — точка пересечения медиан. Тогда точка $O$ делит отрезок $AM_1$ так, что $AO : OM_1 = 2 : 1$.

Воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении. Если точка $O$ делит отрезок $AM_1$ в отношении $\lambda = 2$, то ее координаты вычисляются следующим образом:

Координата $x_O$ точки $O$ находится по формуле:$x_O = \frac{x_A + \lambda \cdot x_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{x_1 + 2 \cdot x_{M_1}}{1 + 2} = \frac{x_1 + 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2}}{3} = \frac{x_1 + (x_2 + x_3)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$.

Координата $y_O$ точки $O$ находится аналогично:$y_O = \frac{y_A + \lambda \cdot y_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{y_1 + 2 \cdot y_{M_1}}{1 + 2} = \frac{y_1 + 2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2}}{3} = \frac{y_1 + (y_2 + y_3)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Координата $z_O$ точки $O$ находится аналогично:$z_O = \frac{z_A + \lambda \cdot z_{M_1}}{1 + \lambda} = \frac{z_1 + 2 \cdot z_{M_1}}{1 + 2} = \frac{z_1 + 2 \cdot \frac{z_2 + z_3}{2}}{3} = \frac{z_1 + (z_2 + z_3)}{3} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.

Таким образом, мы получили, что координаты точки пересечения медиан $O$ равны $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ вычисляются по формуле: $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$.