Номер 667, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

667. Даны точки

Найдите: а) периметр треугольника ABC; б) медианы треугольника ABC.

а)

Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Имеем координаты вершин треугольника: $A(\frac{3}{2}; 1; -2)$, $B(2; 2; -3)$ и $C(2; 0; -1)$.

1. Найдем длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (2-1)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{1+4+4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

2. Найдем длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (0-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{1+4+4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

4. Вычислим периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = \frac{3}{2} + 2\sqrt{2} + \frac{3}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

б)

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длин медиан ($m_a$, $m_b$, $m_c$) сначала необходимо найти координаты середин сторон треугольника.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ находятся по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

1. Найдем медиану $m_a$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим середину $BC$ как $M_a$.

Координаты точки $M_a$:

$M_a(\frac{2+2}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{-3+(-1)}{2}) = M_a(2; 1; -2)$.

Длина медианы $m_a$ равна расстоянию между точками $A(\frac{3}{2}; 1; -2)$ и $M_a(2; 1; -2)$:

$m_a = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (1-1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем медиану $m_b$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим середину $AC$ как $M_b$.

Координаты точки $M_b$:

$M_b(\frac{\frac{3}{2}+2}{2}; \frac{1+0}{2}; \frac{-2+(-1)}{2}) = M_b(\frac{7/2}{2}; \frac{1}{2}; \frac{-3}{2}) = M_b(\frac{7}{4}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

Длина медианы $m_b$ равна расстоянию между точками $B(2; 2; -3)$ и $M_b(\frac{7}{4}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$:

$m_b = \sqrt{(\frac{7}{4}-2)^2 + (\frac{1}{2}-2)^2 + (-\frac{3}{2} - (-3))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1+36+36}{16}} = \sqrt{\frac{73}{16}} = \frac{\sqrt{73}}{4}$.

3. Найдем медиану $m_c$, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Обозначим середину $AB$ как $M_c$.

Координаты точки $M_c$:

$M_c(\frac{\frac{3}{2}+2}{2}; \frac{1+2}{2}; \frac{-2+(-3)}{2}) = M_c(\frac{7/2}{2}; \frac{3}{2}; \frac{-5}{2}) = M_c(\frac{7}{4}; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.

Длина медианы $m_c$ равна расстоянию между точками $C(2; 0; -1)$ и $M_c(\frac{7}{4}; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$:

$m_c = \sqrt{(\frac{7}{4}-2)^2 + (\frac{3}{2}-0)^2 + (-\frac{5}{2} - (-1))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1+36+36}{16}} = \sqrt{\frac{73}{16}} = \frac{\sqrt{73}}{4}$.

Ответ: длины медиан равны $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{73}}{4}$, $\frac{\sqrt{73}}{4}$.