Номер 674, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

674. Найдите точку, равноудалённую от точек A(−2; 3; 5) и B(3; 2; −3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.

Пусть искомая точка M(x, y, z) равноудалена от точек A(-2; 3; 5) и B(3; 2; -3). Это означает, что расстояние MA равно расстоянию MB. Удобнее работать с квадратами расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Применяя эту формулу к точкам A, B и M, получаем общее уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-3))^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2$

Искомая точка M лежит на оси Ox, следовательно, её координаты имеют вид M(x; 0; 0). Подставим $y=0$ и $z=0$ в основное уравнение:

$(x + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (x - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (0 + 3)^2$

$(x + 2)^2 + 9 + 25 = (x - 3)^2 + 4 + 9$

$(x + 2)^2 + 34 = (x - 3)^2 + 13$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x + 4 + 34 = x^2 - 6x + 9 + 13$

$x^2 + 4x + 38 = x^2 - 6x + 22$

Сократим $x^2$ и приведем подобные слагаемые:

$4x + 6x = 22 - 38$

$10x = -16$

$x = -1.6$

Следовательно, искомая точка на оси Ox – это M(-1.6; 0; 0).

Ответ: M(-1.6; 0; 0).

Искомая точка M лежит на оси Oy, следовательно, её координаты имеют вид M(0; y; 0). Подставим $x=0$ и $z=0$ в основное уравнение:

$(0 + 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2 + (0 + 3)^2$

$4 + (y - 3)^2 + 25 = 9 + (y - 2)^2 + 9$

$(y - 3)^2 + 29 = (y - 2)^2 + 18$

Раскроем скобки:

$y^2 - 6y + 9 + 29 = y^2 - 4y + 4 + 18$

$y^2 - 6y + 38 = y^2 - 4y + 22$

Сократим $y^2$ и приведем подобные слагаемые:

$38 - 22 = 6y - 4y$

$16 = 2y$

$y = 8$

Следовательно, искомая точка на оси Oy – это M(0; 8; 0).

Ответ: M(0; 8; 0).

Искомая точка M лежит на оси Oz, следовательно, её координаты имеют вид M(0; 0; z). Подставим $x=0$ и $y=0$ в основное уравнение:

$(0 + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (z - 5)^2 = (0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (z + 3)^2$

$4 + 9 + (z - 5)^2 = 9 + 4 + (z + 3)^2$

$13 + (z - 5)^2 = 13 + (z + 3)^2$

$(z - 5)^2 = (z + 3)^2$

Раскроем скобки:

$z^2 - 10z + 25 = z^2 + 6z + 9$

Сократим $z^2$ и приведем подобные слагаемые:

$25 - 9 = 6z + 10z$

$16 = 16z$

$z = 1$

Следовательно, искомая точка на оси Oz – это M(0; 0; 1).

Ответ: M(0; 0; 1).