Номер 668, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

668. Определите вид треугольника ABC, если:

Чтобы определить вид треугольника, необходимо найти длины его сторон и сравнить их, а также проверить, выполняется ли для них теорема Пифагора. Квадрат расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

а) A(9; 3; -5), B(2; 10; -5), C(2; 3; 2)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (2-9)^2 + (10-3)^2 + (-5 - (-5))^2 = (-7)^2 + 7^2 + 0^2 = 49 + 49 + 0 = 98$.

$BC^2 = (2-2)^2 + (3-10)^2 + (2 - (-5))^2 = 0^2 + (-7)^2 + 7^2 = 0 + 49 + 49 = 98$.

$AC^2 = (2-9)^2 + (3-3)^2 + (2 - (-5))^2 = (-7)^2 + 0^2 + 7^2 = 49 + 0 + 49 = 98$.

Поскольку $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 98$, то и длины сторон равны: $AB = BC = AC$. Следовательно, треугольник является равносторонним.

Ответ: равносторонний.

б) A(3; 7; -4), B(5; -3; 2), C(1; 3; -10)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (5-3)^2 + (-3-7)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + (-10)^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$.

$BC^2 = (1-5)^2 + (3-(-3))^2 + (-10-2)^2 = (-4)^2 + 6^2 + (-12)^2 = 16 + 36 + 144 = 196$.

$AC^2 = (1-3)^2 + (3-7)^2 + (-10 - (-4))^2 = (-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2 = 4 + 16 + 36 = 56$.

Так как длины всех сторон различны, треугольник является разносторонним. Проверим, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора. Наибольшая сторона - BC. Сравним $BC^2$ с суммой квадратов двух других сторон $AB^2 + AC^2$:

$AB^2 + AC^2 = 140 + 56 = 196$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$ ($196 = 196$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Ответ: прямоугольный.

в) A(5; -5; -1), B(5; -3; -1), C(4; -3; 0)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (5-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2 = 0^2 + 2^2 + 0^2 = 4$.

$BC^2 = (4-5)^2 + (-3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$.

$AC^2 = (4-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (0 - (-1))^2 = (-1)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.

Длины всех сторон различны. Проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Наибольшая сторона - AC. Сравним $AC^2$ с суммой $AB^2 + BC^2$:

$AB^2 + BC^2 = 4 + 2 = 6$.

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$ ($6 = 6$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Ответ: прямоугольный.

г) A(-5; 2; 0), B(-4; 3; 0), C(-5; 2; -2)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (-4 - (-5))^2 + (3-2)^2 + (0-0)^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2$.

$BC^2 = (-5 - (-4))^2 + (2-3)^2 + (-2-0)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

$AC^2 = (-5 - (-5))^2 + (2-2)^2 + (-2-0)^2 = 0^2 + 0^2 + (-2)^2 = 0 + 0 + 4 = 4$.

Длины всех сторон различны. Проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Наибольшая сторона - BC. Сравним $BC^2$ с суммой $AB^2 + AC^2$:

$AB^2 + AC^2 = 2 + 4 = 6$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$ ($6 = 6$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Ответ: прямоугольный.