Номер 673, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

673. Даны точки A(4; 4; 0), B(0; 0; 0), C(0; 3; 4) и D(1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией, необходимо доказать два факта: во-первых, что это трапеция (у которой одна пара противоположных сторон параллельна, а другая — нет), и, во-вторых, что она равнобедренная (ее непараллельные боковые стороны равны по длине).

Даны координаты вершин: $A(4; 4; 0)$, $B(0; 0; 0)$, $C(0; 3; 4)$ и $D(1; 4; 4)$.

1. Доказательство, что ABCD — трапеция

Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника.
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{0 - 4; 0 - 4; 0 - 0\} = \{-4; -4; 0\}$
$\vec{DC} = \{x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D\} = \{0 - 1; 3 - 4; 4 - 4\} = \{-1; -1; 0\}$
Сравним векторы противоположных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Их координаты пропорциональны, так как $\frac{-4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$. Это означает, что векторы коллинеарны: $\vec{AB} = 4 \cdot \vec{DC}$. Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).

Теперь рассмотрим другую пару противоположных сторон, AD и BC.
$\vec{AD} = \{x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A\} = \{1 - 4; 4 - 4; 4 - 0\} = \{-3; 0; 4\}$
$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\} = \{0 - 0; 3 - 0; 4 - 0\} = \{0; 3; 4\}$
Их координаты не пропорциональны (например, отношение первых координат $\frac{-3}{0}$ не определено, а вторых $\frac{0}{3} = 0$), значит векторы не коллинеарны, а стороны AD и BC не параллельны.

Так как одна пара противоположных сторон параллельна, а другая — нет, четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и DC.

2. Доказательство, что трапеция равнобедренная

Проверим, равны ли длины боковых (непараллельных) сторон AD и BC. Длина вектора $\vec{v} = \{x; y; z\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Длина стороны AD:
$|AD| = |\vec{AD}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны BC:
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку длины боковых сторон равны ($|AD| = |BC|$), трапеция ABCD является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что ABCD — равнобедренная трапеция, доказано. Основания трапеции — это параллельные стороны AB и DC, так как $\vec{AB} = 4 \cdot \vec{DC}$. Боковые стороны AD и BC не параллельны, но равны по длине: $|AD|=|BC|=5$.