Номер 671, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

671. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки B(3; −4; 7) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки B.

Чтобы найти точку на оси координат, расстояние от которой до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$ является наименьшим, нужно найти ортогональную проекцию точки $B$ на эту ось. Другой способ — составить функцию расстояния от произвольной точки на оси до точки $B$ и найти ее минимум.

На оси Ox

Любая точка на оси абсцисс (Ox) имеет координаты $A_x(x; 0; 0)$. Расстояние от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$ находится по формуле расстояния между двумя точками. Чтобы найти наименьшее расстояние, удобно минимизировать его квадрат:

$d^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-4))^2 + (0 - \sqrt{7})^2$

$d^2 = (x - 3)^2 + 16 + 7 = (x - 3)^2 + 23$

Выражение $(x - 3)^2 + 23$ достигает своего минимума, когда слагаемое $(x - 3)^2$ минимально. Наименьшее значение квадрата равно 0. Это выполняется при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, искомая точка на оси Ox, расстояние от которой до точки B является наименьшим, имеет координаты $(3; 0; 0)$.

Ответ: $(3; 0; 0)$.

На оси Oy

Любая точка на оси ординат (Oy) имеет координаты $A_y(0; y; 0)$. Найдем квадрат расстояния от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$:

$d^2 = (0 - 3)^2 + (y - (-4))^2 + (0 - \sqrt{7})^2$

$d^2 = 9 + (y + 4)^2 + 7 = (y + 4)^2 + 16$

Это выражение достигает минимума, когда $(y + 4)^2 = 0$, что выполняется при $y + 4 = 0$, то есть при $y = -4$.

Следовательно, искомая точка на оси Oy имеет координаты $(0; -4; 0)$.

Ответ: $(0; -4; 0)$.

На оси Oz

Любая точка на оси аппликат (Oz) имеет координаты $A_z(0; 0; z)$. Найдем квадрат расстояния от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$:

$d^2 = (0 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 + (z - \sqrt{7})^2$

$d^2 = 9 + 16 + (z - \sqrt{7})^2 = (z - \sqrt{7})^2 + 25$

Это выражение достигает минимума, когда $(z - \sqrt{7})^2 = 0$, что выполняется при $z - \sqrt{7} = 0$, то есть при $z = \sqrt{7}$.

Следовательно, искомая точка на оси Oz имеет координаты $(0; 0; \sqrt{7})$.

Ответ: $(0; 0; \sqrt{7})$.