Номер 677, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

677. Отрезок CD длины m перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника ABC с катетами АС = b и ВС = а. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы этого треугольника.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат в пространстве. Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, а отрезок CD перпендикулярен его плоскости, наиболее удобным будет разместить начало координат в точке C.

1. Введение системы координат и определение координат точек

• Поместим точку C (вершину прямого угла) в начало координат. Таким образом, координаты точки C будут (0, 0, 0).
• Направим ось Ox вдоль катета BC. Так как длина BC = a, то координаты точки B будут (a, 0, 0).
• Направим ось Oy вдоль катета AC. Так как длина AC = b, то координаты точки A будут (0, b, 0).
• Поскольку отрезок CD перпендикулярен плоскости треугольника ABC (то есть плоскости Oxy), направим ось Oz вдоль отрезка CD. Так как длина CD = m, то координаты точки D будут (0, 0, m).

Итак, мы имеем координаты вершин:
$A(0, b, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$C(0, 0, 0)$
$D(0, 0, m)$

2. Нахождение координат середины гипотенузы

Гипотенузой треугольника является отрезок AB. Найдем координаты ее середины, которую обозначим точкой M. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.
Пусть $M(x_M, y_M, z_M)$. Тогда:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$
$z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$
Таким образом, координаты середины гипотенузы, точки M, равны $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$.

3. Вычисление расстояния от точки D до середины гипотенузы

Теперь найдем расстояние между точкой $D(0, 0, m)$ и точкой $M(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Подставим координаты точек D и M:
$DM = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2 + (0 - m)^2}$
$DM = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + (-m)^2}$
$DM = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + m^2}$
Для удобства приведем выражение под корнем к общему знаменателю:
$DM = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4m^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 4m^2}}{2}$

Ответ: Расстояние от точки D до середины гипотенузы треугольника ABC равно $\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + m^2}$ или $\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 4m^2}}{2}$.