Номер 684, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

684. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно а, точка O₁ — центр грани A₁B₁C₁D₁. Вычислите скалярное произведение векторов:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка $A$ — начало координат, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Ребро куба равно $a$. Тогда вершины куба имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Точка $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$, является серединой диагонали $A_1C_1$. Ее координаты: $O_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AD} = D - A = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0)$.

$\vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (a, a, a) - (a, 0, a) = (0, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AD} \cdot \vec{B_1C_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.

Другой способ: векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$ равны, так как они получаются параллельным переносом. Следовательно, их скалярное произведение равно квадрату длины любого из них: $\vec{AD} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{C_1A_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{C_1A_1} = A_1 - C_1 = (0, 0, a) - (a, a, a) = (-a, -a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{C_1A_1} = a \cdot (-a) + a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = -a^2 - a^2 = -2a^2$.

Ответ: $-2a^2$.

в) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{D_1B}$ и $\vec{AC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{D_1B} = B - D_1 = (a, 0, 0) - (0, a, a) = (a, -a, -a)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ из пункта б): $\vec{AC} = (a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{D_1B} \cdot \vec{AC} = a \cdot a + (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$ выходят из одной точки $B$. Найдем их длины и угол между ними. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, ее длина $|\vec{BA_1}| = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$, ее длина $|\vec{BC_1}| = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Рассмотрим треугольник $A_1BC_1$. Его стороны: $BA_1$, $BC_1$ и $A_1C_1$. Длина $A_1C_1$ — это диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$, ее длина также равна $a\sqrt{2}$. Поскольку все три стороны треугольника $A_1BC_1$ равны $a\sqrt{2}$, он является равносторонним. Угол между векторами $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$ — это угол $\angle A_1BC_1$, который равен $60^\circ$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = |\vec{BA_1}| \cdot |\vec{BC_1}| \cdot \cos(\angle A_1BC_1) = (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(60^\circ) = 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

д) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1O_1}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Точка $O_1$ является центром грани $A_1B_1C_1D_1$, а значит, и серединой ее диагонали $A_1C_1$. Следовательно, вектор $\vec{A_1O_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{A_1C_1}$, и его длина равна половине длины вектора $\vec{A_1C_1}$: $\vec{A_1O_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1C_1}$. Длина диагонали грани $|\vec{A_1C_1}| = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{A_1O_1} \cdot \vec{A_1C_1} = \left(\frac{1}{2}\vec{A_1C_1}\right) \cdot \vec{A_1C_1} = \frac{1}{2} (\vec{A_1C_1})^2 = \frac{1}{2} |\vec{A_1C_1}|^2 = \frac{1}{2} (a\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

е) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{D_1O_1}$ и $\vec{B_1O_1}$.

Точка $O_1$ — центр квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Векторы $\vec{D_1O_1}$ и $\vec{B_1O_1}$ лежат на одной прямой — диагонали $B_1D_1$, но направлены в противоположные стороны, так как оба направлены к центру $O_1$ от вершин. Угол между ними равен $180^\circ$. Длина каждого из этих векторов равна половине длины диагонали грани: $|\vec{D_1O_1}| = |\vec{B_1O_1}| = \frac{1}{2} |B_1D_1| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{D_1O_1} \cdot \vec{B_1O_1} = |\vec{D_1O_1}| \cdot |\vec{B_1O_1}| \cdot \cos(180^\circ) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-1) = \frac{2a^2}{4} \cdot (-1) = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

ж) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BO_1}$ и $\vec{C_1B}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BO_1} = O_1 - B = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) - (a, 0, 0) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

$\vec{C_1B} = B - C_1 = (a, 0, 0) - (a, a, a) = (0, -a, -a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{BO_1} \cdot \vec{C_1B} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{a}{2}\right) \cdot (-a) + a \cdot (-a) = 0 - \frac{a^2}{2} - a^2 = -\frac{3a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$.