Номер 686, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

686. Даны векторы

Вычислите:

Даны векторы $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}$ и $\vec{b} = \vec{j} - 5\vec{k}$. Для выполнения вычислений запишем координаты этих векторов в прямоугольной системе координат. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(3, -5, 1)$. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(0, 1, -5)$. Базисные векторы имеют координаты: $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$, $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{p} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{q} = (x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{p}\vec{q} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) $\vec{a}\vec{b}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя их координаты:

$\vec{a}\vec{b} = (3)(0) + (-5)(1) + (1)(-5) = 0 - 5 - 5 = -10$.

Ответ: -10

б) $\vec{a}\vec{i}$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и базисного вектора $\vec{i}$:

$\vec{a}\vec{i} = (3)(1) + (-5)(0) + (1)(0) = 3$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{i}$ равно первой координате этого вектора.

Ответ: 3

в) $\vec{b}\vec{j}$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{b}$ и базисного вектора $\vec{j}$:

$\vec{b}\vec{j} = (0)(0) + (1)(1) + (-5)(0) = 1$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{j}$ равно второй координате этого вектора.

Ответ: 1

г) $(\vec{a} + \vec{b})\vec{k}$

Сначала найдем вектор-сумму $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}) + (\vec{j} - 5\vec{k}) = 3\vec{i} + (-5+1)\vec{j} + (1-5)\vec{k} = 3\vec{i} - 4\vec{j} - 4\vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $(3, -4, -4)$.

Теперь вычислим скалярное произведение полученного вектора на базисный вектор $\vec{k}$:

$(\vec{a} + \vec{b})\vec{k} = (3)(0) + (-4)(0) + (-4)(1) = -4$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{k}$ равно третьей координате этого вектора.

Ответ: -4

д) $(\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j})$

Для вычисления этого скалярного произведения найдем сначала оба вектора-сомножителя.

Найдем первый вектор $\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b}$:

$2\vec{b} = 2(\vec{j} - 5\vec{k}) = 2\vec{j} - 10\vec{k}$.

$\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} = (3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}) - (2\vec{j} - 10\vec{k}) = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k} - 2\vec{j} + 10\vec{k} = 3\vec{i} - 7\vec{j} + 11\vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{c}$ равны $(3, -7, 11)$.

Найдем второй вектор $\vec{d} = \vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j}$. Запишем его в стандартном порядке: $\vec{d} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{d}$ равны $(1, -2, 1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c}\vec{d} = (3)(1) + (-7)(-2) + (11)(1) = 3 + 14 + 11 = 28$.

Ответ: 28