Номер 682, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

682. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

а) $\vec{B_1B}$ и $\vec{B_1C}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{B_1B} = (a-a, 0-0, 0-a) = (0, 0, -a)$
$\vec{B_1C} = (a-a, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{B_1B} \cdot \vec{B_1C} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot a + (-a) \cdot (-a) = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{B_1B}| = \sqrt{0^2+0^2+(-a)^2} = a$
$|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2+a^2+(-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

б) $\vec{DA}$ и $\vec{B_1D_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{DA} = (0-0, 0-a, 0-0) = (0, -a, 0)$
$\vec{B_1D_1} = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{DA} \cdot \vec{B_1D_1} = 0 \cdot (-a) + (-a) \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{DA}| = \sqrt{0^2+(-a)^2+0^2} = a$
$|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-a)^2+a^2+0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{-a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$

в) $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{A_1B}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1C_1} = (a-0, a-0, a-a) = (a, a, 0)$
$\vec{A_1B} = (a-0, 0-0, 0-a) = (a, 0, -a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{A_1B} = a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{A_1C_1}| = \sqrt{a^2+a^2+0^2} = a\sqrt{2}$
$|\vec{A_1B}| = \sqrt{a^2+0^2+(-a)^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$
Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$

г) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2+a^2+0^2} = a$
$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2+a^2+0^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

д) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{BB_1} = (a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{BB_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

е) $\vec{B_1C}$ и $\vec{AD_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{B_1C} = (a-a, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{B_1C} \cdot \vec{AD_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + (-a) \cdot a = a^2 - a^2 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

ж) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{BC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1D_1} = (0-0, a-0, a-a) = (0, a, 0)$
$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$
Векторы $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{BC}$ равны ($\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$), так как их соответствующие координаты равны. Следовательно, они сонаправлены.
Следовательно, угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$

з) $\vec{AA_1}$ и $\vec{C_1C}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$
$\vec{C_1C} = (a-a, a-a, 0-a) = (0, 0, -a)$
Заметим, что $\vec{C_1C} = -1 \cdot \vec{AA_1}$. Это означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Следовательно, угол между ними равен $180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$