Номер 688, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

688. Дан вектор a{3; −5; 0}. Докажите, что:

Чтобы доказать утверждения об углах между векторами, воспользуемся свойством скалярного произведения. Знак скалярного произведения двух векторов определяет тип угла между ними (острый, тупой или прямой). Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Так как длины ненулевых векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ всегда положительны, знак $\cos(\alpha)$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$, то $\cos(\alpha) > 0$, и угол $\alpha$ острый ($\alpha < 90^\circ$).
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$, то $\cos(\alpha) < 0$, и угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$).
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то $\cos(\alpha) = 0$, и угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$).

Дан вектор $\vec{a}\{3; -5; 0\}$. Координаты ортов (единичных векторов осей координат) равны: $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$, $\vec{k}\{0; 0; 1\}$.

а) $\widehat{\vec{a}i} < 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{i}$:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 \cdot 1 + (-5) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 3$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 > 0$, угол между векторами острый, то есть $\widehat{\vec{a}i} < 90^\circ$, что и требовалось доказать.

б) $\widehat{\vec{a}j} > 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{j}$:

$\vec{a} \cdot \vec{j} = 3 \cdot 0 + (-5) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -5$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{j} = -5 < 0$, угол между векторами тупой, то есть $\widehat{\vec{a}j} > 90^\circ$, что и требовалось доказать.

в) $\widehat{\vec{a}k} = 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{k}$:

$\vec{a} \cdot \vec{k} = 3 \cdot 0 + (-5) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{k} = 0$, векторы перпендикулярны, и угол между ними прямой, то есть $\widehat{\vec{a}k} = 90^\circ$, что и требовалось доказать.