Номер 694, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения. Параграф 2. Скалярное произведение векторов - номер 694, страница 176.

Условие.

694. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; −1) и С(1; 2; −1). Вычислите угол между векторами CA и CB.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы вычислить угол $\alpha$ между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, мы будем использовать формулу, связывающую косинус угла между векторами с их скалярным произведением и их модулями (длинами): $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|}$$

Нам даны координаты трех точек: A(1; 3; 0), B(2; 3; -1) и C(1; 2; -1).

1. Найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки.

Для вектора $\vec{CA}$ (начало в точке C, конец в точке A):
$\vec{CA} = (1 - 1; 3 - 2; 0 - (-1)) = (0; 1; 1)$.

Для вектора $\vec{CB}$ (начало в точке C, конец в точке B):
$\vec{CB} = (2 - 1; 3 - 2; -1 - (-1)) = (1; 1; 0)$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0 + 1 + 0 = 1$.

3. Найдем модули (длины) векторов.
Модуль вектора $\vec{v}(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.
$|\vec{CB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.
$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

Теперь найдем сам угол $\alpha$. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.