Номер 700, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

700. Векторы a и b перпендикулярны к вектору

Вычислите: a) скалярные произведения

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и предварительно вычислим необходимые скалярные произведения.
Из условия известно:
- Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны вектору $\vec{c}$, следовательно, их скалярные произведения равны нулю: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
- Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^\circ$.
- Модули векторов равны единице: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
Также нам понадобятся скалярные квадраты векторов, которые равны квадратам их модулей:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 = 1$
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = 1^2 = 1$
$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = 1^2 = 1$

а) Вычислим скалярные произведения.
1. Найдем произведение $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})(2\vec{b})$. Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{b}) + \vec{b} \cdot (2\vec{b}) + \vec{c} \cdot (2\vec{b})$
$= 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$
Подставим вычисленные ранее значения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = -1/2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$, $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$):
$2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1$.

2. Найдем произведение $(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})(\vec{a} - \vec{c})$. Раскроем скобки:
$(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{c}$
Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, упростим выражение:
$= |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{c}|^2$
Подставим известные значения ($|\vec{a}|^2=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1/2$, $|\vec{c}|^2=1$):
$1 - (-\frac{1}{2}) - 1 = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})(2\vec{b}) = 1$; $(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})(\vec{a} - \vec{c}) = \frac{1}{2}$.

б) Вычислим модули векторов. Модуль вектора $|\vec{v}|$ связан с его скалярным квадратом соотношением $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.
1. Найдем модуль $|\vec{a} - \vec{b}|$. Для этого сначала вычислим его квадрат:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Подставим известные значения:
$1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, модуль равен: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$.

2. Найдем модуль $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$. Вычислим его квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$
$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) - 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$
Подставим известные значения:
$1 + 1 + 1 + 2(-\frac{1}{2}) - 2(0) - 2(0) = 3 - 1 = 2$.
Следовательно, модуль равен: $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$; $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{2}$.