Номер 697, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Скалярное произведение векторов. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 697, страница 177.

Условие.

697. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = 1, ВС = СС₁ = 2. Вычислите угол между векторами DB₁ и BC₁.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для нахождения угла между векторами воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В соответствии с условиями задачи, имеем следующие длины ребер:

• $AB = 1$ (вдоль оси $Ox$)
• $AD = BC = 2$ (вдоль оси $Oy$)
• $AA_1 = CC_1 = 2$ (вдоль оси $Oz$)

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов $\vec{DB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

• $D$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 2 от начала координат, следовательно, $D(0, 2, 0)$.
• $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, $B(1, 0, 0)$.
• $B_1$ является проекцией точки $B$ на верхнее основание, значит, ее координаты $B_1(1, 0, 2)$.
• $C_1$ является проекцией точки $C$ на верхнее основание. Координаты точки $C$ - $(1, 2, 0)$, значит, координаты $C_1(1, 2, 2)$.

Теперь найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{DB_1} = \{x_{B_1}-x_D; y_{B_1}-y_D; z_{B_1}-z_D\} = \{1-0; 0-2; 2-0\} = \{1; -2; 2\}$.

$\vec{BC_1} = \{x_{C_1}-x_B; y_{C_1}-y_B; z_{C_1}-z_B\} = \{1-1; 2-0; 2-0\} = \{0; 2; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1 \cdot 0) + ((-2) \cdot 2) + (2 \cdot 2) = 0 - 4 + 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, угол между ними составляет $90^\circ$.

Для полноты решения вычислим длины векторов:

$|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Тогда косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{0}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = 0$

Отсюда, $\alpha = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.