Номер 704, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

704. В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.

Решение

Введём векторы a = DA, b = DB, c = DC. Тогда AB = b − a, AC = c − a, BC = c − b. По условию AD ⊥ BC и BD ⊥ АС, поэтому a ⊥ (c − b) и b ⊥ (c − a). Следовательно, a(c − b) = 0 и b(c − a) = 0. Отсюда получаем ac = ab и bc = ba. Из этих двух равенств следует, что ac = bc, или (b − a) c = 0. Но b − a = AB, c = DC, поэтому AB ⋅ DC = 0, и, значит, AB ⊥ CD, что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Выберем одну из вершин тетраэдра, например $D$, в качестве начала системы координат. Введём базисные векторы, соответствующие рёбрам, выходящим из этой вершины: $\vec{a} = \vec{DA}$, $\vec{b} = \vec{DB}$ и $\vec{c} = \vec{DC}$.

Теперь выразим векторы, соответствующие другим рёбрам тетраэдра, через введённые базисные векторы. По правилу треугольника для векторов получаем:

$\vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$

По условию задачи, противоположные рёбра $AD$ и $BC$ перпендикулярны. Перпендикулярность двух прямых означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. В качестве направляющих векторов для прямых $AD$ и $BC$ можно взять векторы $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$ соответственно. Запишем это условие:

$\vec{DA} \cdot \vec{BC} = 0$

$\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$

Раскрыв скобки, получим: $\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, что эквивалентно $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

Также по условию перпендикулярны рёбра $BD$ и $AC$. Запишем это условие аналогичным образом, используя направляющие векторы $\vec{DB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$

Раскрыв скобки, получим: $\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$, что эквивалентно $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Теперь у нас есть система из двух равенств:

1) $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

2) $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Поскольку скалярное произведение коммутативно (т.е. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), правые части обоих равенств равны. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

Перенесём все члены в одну сторону равенства:

$\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0$

Вспомним, что вектор $\vec{AB}$ выражается как $\vec{b} - \vec{a}$, а вектор $\vec{DC}$ равен $\vec{c}$. Подставив эти выражения в полученное равенство, имеем:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0$

Равенство нулю скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые, на которых лежат рёбра $AB$ и $CD$, перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что если в тетраэдре две пары противоположных рёбер взаимно перпендикулярны, то и третья пара рёбер также взаимно перпендикулярна.

Ответ: Перпендикулярность противоположных рёбер $CD$ и $AB$ доказана.