Номер 710, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

710. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A₁D₁, причём A₁M : MD₁ = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ABCD; б) DD₁C₁C; в) AA₁D₁D.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$,
$A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Точка $N$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$, является серединой отрезка $AC$. Ее координаты:
$N = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $M$ лежит на ребре $A_1D_1$ и делит его в отношении $A_1M : MD_1 = 1:4$. Координаты точки $M$ можно найти как:
$M = A_1 + \frac{1}{5}\vec{A_1D_1} = (0, 0, a) + \frac{1}{5}(D_1 - A_1) = (0, 0, a) + \frac{1}{5}(0, a, 0) = \left(0, \frac{a}{5}, a\right)$.

Найдем координаты направляющего вектора $\vec{v}$ прямой $MN$:
$\vec{MN} = N - M = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - \frac{a}{5}, 0 - a\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{3a}{10}, -a\right)$.
В качестве направляющего вектора $\vec{v}$ можно взять коллинеарный ему вектор, умножив координаты $\vec{MN}$ на $\frac{10}{a}$ (при $a \neq 0$):
$\vec{v} = (5, 3, -10)$.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ вычисляется по формуле:$$ \sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||} $$Найдем модуль вектора $\vec{v}$:
$||\vec{v}|| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 9 + 100} = \sqrt{134}$.

а) $ABCD$

Плоскость грани $ABCD$ совпадает с координатной плоскостью $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n_a} = (0, 0, 1)$. Его модуль $||\vec{n_a}|| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n_a}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n_a} = 5 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + (-10) \cdot 1 = -10$.
Теперь вычислим синус искомого угла $\alpha_a$:
$\sin\alpha_a = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n_a}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n_a}||} = \frac{|-10|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{10}{\sqrt{134}} = \frac{10\sqrt{134}}{134} = \frac{5\sqrt{134}}{67}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{134}}{67}$.

б) $DD_1C_1C$

Плоскость грани $DD_1C_1C$ задается уравнением $y=a$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n_b} = (0, 1, 0)$. Его модуль $||\vec{n_b}|| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n_b}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n_b} = 5 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + (-10) \cdot 0 = 3$.
Вычислим синус искомого угла $\alpha_b$:
$\sin\alpha_b = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n_b}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n_b}||} = \frac{|3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}} = \frac{3\sqrt{134}}{134}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{134}}{134}$.

в) $AA_1D_1D$

Плоскость грани $AA_1D_1D$ задается уравнением $x=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n_c} = (1, 0, 0)$. Его модуль $||\vec{n_c}|| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n_c}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n_c} = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-10) \cdot 0 = 5$.
Вычислим синус искомого угла $\alpha_c$:
$\sin\alpha_c = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n_c}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n_c}||} = \frac{|5|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{134}} = \frac{5\sqrt{134}}{134}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{134}}{134}$.