Номер 713, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

713. Дан куб MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что прямая РМ₁ перпендикулярна к плоскостям MN₁Q₁ и QNP₁.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $M$ и осями, направленными вдоль ребер куба. Пусть ребро куба имеет длину $a$.

Тогда координаты вершин куба будут следующими:

• $M(0, 0, 0)$
• $N(a, 0, 0)$
• $P(a, a, 0)$
• $Q(0, a, 0)$
• $M_1(0, 0, a)$
• $N_1(a, 0, a)$
• $P_1(a, a, a)$
• $Q_1(0, a, a)$

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В векторной форме это означает, что направляющий вектор прямой ортогонален (скалярное произведение равно нулю) двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости.

Найдем координаты направляющего вектора прямой $PM_1$:

$\vec{PM_1} = \{x_{M_1} - x_P; y_{M_1} - y_P; z_{M_1} - z_P\} = \{0 - a; 0 - a; a - 0\} = \{-a; -a; a\}$

Доказательство перпендикулярности прямой $PM_1$ к плоскости $MN_1Q_1$

Плоскость $MN_1Q_1$ задается тремя точками $M(0, 0, 0)$, $N_1(a, 0, a)$ и $Q_1(0, a, a)$. Найдем векторы двух пересекающихся прямых, лежащих в этой плоскости, например, $MN_1$ и $MQ_1$.

$\vec{MN_1} = \{a - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{a; 0; a\}$

$\vec{MQ_1} = \{0 - 0; a - 0; a - 0\} = \{0; a; a\}$

Проверим перпендикулярность вектора $\vec{PM_1}$ к векторам $\vec{MN_1}$ и $\vec{MQ_1}$ с помощью скалярного произведения.

$\vec{PM_1} \cdot \vec{MN_1} = (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

$\vec{PM_1} \cdot \vec{MQ_1} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot a + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$

Поскольку скалярные произведения равны нулю, вектор $\vec{PM_1}$ перпендикулярен векторам $\vec{MN_1}$ и $\vec{MQ_1}$. Так как прямые $MN_1$ и $MQ_1$ пересекаются в точке $M$ и лежат в плоскости $MN_1Q_1$, прямая $PM_1$ перпендикулярна плоскости $MN_1Q_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство перпендикулярности прямой $PM_1$ к плоскости $QNP_1$

Плоскость $QNP_1$ задается тремя точками $Q(0, a, 0)$, $N(a, 0, 0)$ и $P_1(a, a, a)$. Найдем векторы двух пересекающихся прямых, лежащих в этой плоскости, например, $QN$ и $QP_1$.

$\vec{QN} = \{a - 0; 0 - a; 0 - 0\} = \{a; -a; 0\}$

$\vec{QP_1} = \{a - 0; a - a; a - 0\} = \{a; 0; a\}$

Проверим перпендикулярность вектора $\vec{PM_1}$ (с координатами $\{-a; -a; a\}$) к векторам $\vec{QN}$ и $\vec{QP_1}$.

$\vec{PM_1} \cdot \vec{QN} = (-a) \cdot a + (-a) \cdot (-a) + a \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

$\vec{PM_1} \cdot \vec{QP_1} = (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Поскольку скалярные произведения равны нулю, вектор $\vec{PM_1}$ перпендикулярен векторам $\vec{QN}$ и $\vec{QP_1}$. Так как прямые $QN$ и $QP_1$ пересекаются в точке $Q$ и лежат в плоскости $QNP_1$, прямая $PM_1$ перпендикулярна плоскости $QNP_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.