Номер 720, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

720. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а)

Пусть $O$ — центр симметрии, а $a$ — прямая, не проходящая через точку $O$. Докажем, что её образ, прямая $a'$, будет параллельна прямой $a$.

Возьмём на прямой $a$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. При центральной симметрии относительно центра $O$ они отобразятся в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Это означает, что $AO = OA'$ и $BO = OB'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. В этих треугольниках:

• $AO = A'O$ (по определению симметрии).
• $BO = B'O$ (по определению симметрии).
• $\angle AOB = \angle A'OB'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ (то есть прямой $a$) и $A'B'$ секущей $AA'$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: $a \parallel A'B'$.

Образом прямой $a$ является прямая, проходящая через образы всех её точек. Поскольку $A'$ и $B'$ — образы точек прямой $a$, то прямая $A'B'$ и есть образ прямой $a$, то есть $a' = A'B'$.

Теперь докажем, что любая точка прямой $a'$ является образом некоторой точки прямой $a$. Пусть $C'$ — произвольная точка на прямой $a'$. Точка $C$, симметричная ей относительно $O$, является её прообразом. Рассмотрим $\triangle A'OC'$ и $\triangle AOC$. Они равны по первому признаку ($A'O=AO$, $C'O=CO$, $\angle A'OC' = \angle AOC$). Из равенства треугольников следует, что $\angle C'A'O = \angle CAO$, а значит, $AC \parallel A'C'$ (прямой $a'$). Но через точку $A$ проходит только одна прямая, параллельная $a'$, и это прямая $a$. Значит, точка $C$ лежит на прямой $a$.

Ответ: Таким образом, доказано, что прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

б)

Пусть $O$ — центр симметрии, а $b$ — прямая, проходящая через точку $O$. Докажем, что прямая $b$ отображается на себя.

Для этого нужно показать, что:

1. Образ любой точки прямой $b$ также лежит на прямой $b$.
2. Любая точка прямой $b$ является образом некоторой точки с этой же прямой.

1. Возьмём произвольную точку $A$ на прямой $b$. Пусть её образ при симметрии относительно $O$ — точка $A'$.

• Если точка $A$ совпадает с центром $O$, то её образом является сама точка $O$, которая, по условию, лежит на прямой $b$.
• Если точка $A$ отлична от $O$, то по определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это значит, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой. Так как точки $A$ и $O$ лежат на прямой $b$, то и точка $A'$ также должна лежать на прямой $b$.

Таким образом, образ любой точки прямой $b$ принадлежит прямой $b$.

2. Возьмём произвольную точку $B$ на прямой $b$. Найдём её прообраз, то есть точку $A$, образом которой является $B$. По определению, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно центра $O$. Это значит, что $O$ — середина отрезка $AB$. Следовательно, точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Так как точки $B$ и $O$ лежат на прямой $b$, то и точка $A$ также должна лежать на прямой $b$.

Таким образом, для любой точки на прямой $b$ её прообраз также лежит на прямой $b$.

Ответ: Из этих двух утверждений следует, что прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.