Номер 723, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

723. При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую а₁. Докажите, что прямые а и а₁ лежат в одной плоскости.

Пусть ? — это плоскость, относительно которой производится зеркальная симметрия. Прямая a отображается на прямую a?. Чтобы доказать, что прямые a и a? лежат в одной плоскости (копланарны), необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения прямой a и плоскости ?.

1. Прямая a пересекает плоскость ?

Пусть прямая a пересекает плоскость ? в точке P. По определению зеркальной симметрии, любая точка, лежащая в плоскости симметрии, отображается сама на себя. Следовательно, образом точки P является сама точка P.

Так как прямая a? является образом прямой a, она должна проходить через образы всех точек прямой a. В частности, прямая a? проходит через образ точки P, то есть через саму точку P.

Таким образом, обе прямые, a и a?, проходят через одну и ту же точку P, то есть они пересекаются (или совпадают, если a перпендикулярна ?, что является частным случаем пересечения). Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, в этом случае прямые a и a? копланарны.

2. Прямая a параллельна плоскости ?

Выберем на прямой a две любые различные точки A и B. Пусть их образами при симметрии относительно плоскости ? являются точки A? и B?. По определению, прямая a? проходит через точки A? и B?.

По определению зеркальной симметрии, отрезок, соединяющий точку с ее образом, перпендикулярен плоскости симметрии. Значит, отрезок AA? перпендикулярен плоскости ?, и отрезок BB? перпендикулярен плоскости ?.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Следовательно, прямая AA? параллельна прямой BB? ($AA? \parallel BB?$).

Через две параллельные прямые AA? и BB? проходит единственная плоскость. Назовем ее ?. Эта плоскость ? содержит прямые AA? и BB?, а значит, и все четыре точки A, B, A?, B?.

Поскольку точки A и B лежат в плоскости ?, вся прямая a, проходящая через них, также лежит в плоскости ?.

Поскольку точки A? и B? лежат в плоскости ?, вся прямая a?, проходящая через них, также лежит в плоскости ?.

Мы показали, что обе прямые, a и a?, лежат в одной и той же плоскости ?. Следовательно, они копланарны.

3. Прямая a лежит в плоскости ?

Если прямая a целиком лежит в плоскости симметрии ?, то каждая ее точка отображается сама на себя. Это означает, что образом прямой a является сама прямая a, то есть $a = a?$. Совпадающие прямые, очевидно, лежат в одной плоскости (в данном случае, в плоскости ?).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них доказали, что прямые a и a? лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано.