Номер 721, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

721. Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость;

Пусть $O$ – центр симметрии, и пусть $\alpha$ – плоскость, не проходящая через точку $O$ ($O \notin \alpha$). Пусть $\alpha'$ – образ плоскости $\alpha$ при центральной симметрии относительно центра $O$. Это означает, что $\alpha'$ состоит из всех точек $M'$, симметричных точкам $M$ из плоскости $\alpha$ относительно центра $O$.

Выберем в плоскости $\alpha$ три произвольные точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Эти три точки однозначно определяют плоскость $\alpha$. Пусть $A'$, $B'$ и $C'$ – их образы при симметрии относительно $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые $AB$ и $AC$ в плоскости $\alpha$. Их образами при центральной симметрии будут прямые $A'B'$ и $A'C'$. Докажем, что прямая $A'B'$ параллельна прямой $AB$. Векторно это можно выразить так: $\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$. Поскольку $A'$ и $B'$ – образы $A$ и $B$, то $\vec{OA'} = -\vec{OA}$ и $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Тогда $\vec{A'B'} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA}) = \vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OB} - \vec{OA}) = -\vec{AB}$. Поскольку вектор $\vec{A'B'}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$, прямые $AB$ и $A'B'$ параллельны. Аналогично доказывается, что $AC \parallel A'C'$.

Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, прямые $AB$ и $AC$ пересекаются. Их образы, прямые $A'B'$ и $A'C'$, также пересекаются в точке $A'$. Эти две пересекающиеся прямые $A'B'$ и $A'C'$ определяют некоторую плоскость, которую мы обозначим $\alpha'$.

Итак, мы имеем две пересекающиеся прямые $AB$ и $AC$ в плоскости $\alpha$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A'B'$ и $A'C'$ в плоскости $\alpha'$. По признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\alpha'$.

Докажем теперь, что образом всей плоскости $\alpha$ является вся плоскость $\alpha'$. 1. Возьмем любую точку $M \in \alpha$. Ее положение можно задать через векторы, выходящие из точки $A$: $\vec{AM} = k_1\vec{AB} + k_2\vec{AC}$ для некоторых чисел $k_1, k_2$. Образ точки $M$, точка $M'$, будет иметь вектор $\vec{A'M'} = -\vec{AM}$. Тогда $\vec{A'M'} = -(k_1\vec{AB} + k_2\vec{AC}) = k_1(-\vec{AB}) + k_2(-\vec{AC}) = k_1\vec{A'B'} + k_2\vec{A'C'}$. Это означает, что точка $M'$ лежит в плоскости, определяемой точками $A', B', C'$, то есть $M' \in \alpha'$. Таким образом, образ плоскости $\alpha$ содержится в плоскости $\alpha'$.

2. Возьмем любую точку $P' \in \alpha'$. Ее положение можно задать как $\vec{A'P'} = k_1\vec{A'B'} + k_2\vec{A'C'}$. Найдем ее прообраз $P$. Точка $P$ симметрична $P'$ относительно $O$, поэтому $\vec{AP} = -\vec{A'P'}$. Тогда $\vec{AP} = -(k_1\vec{A'B'} + k_2\vec{A'C'}) = k_1(-\vec{A'B'}) + k_2(-\vec{A'C'}) = k_1\vec{AB} + k_2\vec{AC}$. Это означает, что точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, любая точка плоскости $\alpha'$ является образом некоторой точки из плоскости $\alpha$.

Из этих двух пунктов следует, что плоскость $\alpha$ отображается на плоскость $\alpha'$. Так как $O \notin \alpha$, то плоскости $\alpha$ и $\alpha'$ не совпадают (иначе для любой точки $A \in \alpha$ ее образ $A'$ также лежал бы в $\alpha$, а значит и середина отрезка $AA'$, точка $O$, лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию).

Ответ: Доказано.

б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Пусть $O$ – центр симметрии, и пусть плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ ($O \in \beta$). Нам нужно доказать, что при центральной симметрии относительно $O$ плоскость $\beta$ отображается на себя. Это означает, что для любой точки из $\beta$ ее образ также лежит в $\beta$, и любая точка из $\beta$ является образом некоторой точки из $\beta$.

1. Докажем, что образ любой точки из $\beta$ принадлежит $\beta$. Пусть $M$ – произвольная точка плоскости $\beta$. Пусть $M'$ – ее образ при симметрии относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, причем $O$ является серединой отрезка $MM'$. По условию, точка $O$ принадлежит плоскости $\beta$. Мы выбрали точку $M$ также в плоскости $\beta$. Через две точки ($M$ и $O$) проходит единственная прямая, и по аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $MO$ целиком лежит в плоскости $\beta$. Поскольку точка $M'$ лежит на прямой $MO$, она также принадлежит плоскости $\beta$. Так как $M$ – произвольная точка плоскости $\beta$, то образ всей плоскости $\beta$ содержится в самой плоскости $\beta$.

2. Докажем, что любая точка плоскости $\beta$ является образом некоторой точки из этой же плоскости. Пусть $P$ – произвольная точка плоскости $\beta$. Найдем ее прообраз, то есть такую точку $Q$, образом которой является $P$. Центральная симметрия является обратной самой себе, поэтому прообразом точки $P$ будет точка $Q$, симметричная $P$ относительно центра $O$. По определению симметрии, точки $P$, $O$ и $Q$ лежат на одной прямой. По условию $O \in \beta$, и мы выбрали $P \in \beta$. Следовательно, вся прямая $PO$ лежит в плоскости $\beta$. Так как точка $Q$ лежит на прямой $PO$, то $Q$ также принадлежит плоскости $\beta$. Это означает, что для любой точки $P$ из плоскости $\beta$ ее прообраз $Q$ также лежит в плоскости $\beta$.

Из двух доказанных утверждений следует, что при центральной симметрии относительно центра $O$ плоскость $\beta$, проходящая через $O$, отображается на себя.

Ответ: Доказано.